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Une sélection de 20 articles parus dans Tangente entre le numéro 1 (1987) et le numéro 117 (2007).

SOMMAIRE

M.C Escher ou l'art mathématiques ( 1988)
Quand une partie se résume en un coup (1989)
Pappus, pas moins (1990)
L'âge du capitaine (1991)
L'arbre aux zéros (1993)
Des séries et des hommes (1994)
Pascal et Fermat, les écrits restent (1996)
Géométrie de l'équerre (1997)
L'interro écrite (1998)
Les nombres et proportions de Milan Kundera (1998)
L'art des dissections géométriques (2000)
Alain Connes : la vérité est mathématique (2000)
Économie et maths entre fascination et rejet (2001)
Géométrie de l'anamorphose (2001)
Mesurer la Terre, quelle idée? (2001)
Manipuler les électeurs (2002)
Le barman aveugle (2002)
Thalès et l'ombre de la pyramide (2005)
Celui qui savait classer, ordonner... et celle qui n'y arrivait pas (2005)
François Apery, du mathématicien à l'artiste (2006)
Le jour où Pi a failli devenir un rationnel (2005)
La pifométrie (2007)

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Dossier 1 : Imaginer les nombres Étonnant retour en boucle: certaines civilisations utilisent des nombres et des structures géométriques sans les nommer, puis des civilisations ont désigné les nombres et enfin les logiciens prouvent l'existence d'un nombre, le nombre Oméga, qu'ils ne savent pas calculer... Les mathématiques dans les sociétés sans écriture/ Nommer et écrire les nombres dans les différentes langues / L'invraisemblable nombre Ω / La découverte de la numération Centauréenne Dossier 2 : Les nombres entiers Tout comme la biodiversité montre les diverses solutions de l'Évolution au problème de l'environnement, la variété extraordinaire des propriétés des nombres illustre les questions incongrues, mais fécondes, que se posent les mathématiciens. Erdös, prince des " résolveurs " / Kaprekar ou la passion des nombres / Les nombres de Ramsey / Triplets pythagoriciens / La répartition des nombres premiers Dossier 3 : Construire les nombres ,percer leurs secrets Mon âme a son secret, les math ont leur mystère ... et pourtant les nombres univers ont toute la beauté du monde. Votre intuition, rarement trompée, et même alors notre intelligence s'en amuse, vous donnera les solutions des énigmes. Les carpettes de Conway / Les racines emboîtées à l'infini / La découverte des nombres transcendants / Les nombres univers / L'intuition trompée Et aussi Humour / Des nombres pleins de qualité Et toujours Jeux et énigmes - solutions

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Dossier 1 : Croyance et erreurs Ils voient... et ils croient! Souvent à tort car l'habillage scientifique des croyances et des mensonges n'est qu'un leurre. Les statisticiens expliquent pourquoi, mais, depuis des siècles, ils prêchent dans le désert : acceptons-le, nous aimons croire Coïncidences et croyances au paranormal / Humour : Où sont elles’ / La loi des séries d'événements rares / La glorieuse incertitude du sport Dossier 2 : Recueil des données et traitement Comment résumer un ensemble de données avec un ou deux chiffres ? Dès le début de la statistique le problème s'est posé avec "l'homme moyen" de Quételet. Et entre ce que les gens disent, ce qu'ils pensent et ce qu'ils font, il y a des fossés difficiles à combler. Quételet et l'homme moyen / Traitement de séries statistiques / Échantillonnages : la pratique / L'élimination des biais / Le paradoxe de Simpson / La méthode Monte Carlo et la simulation numérique / La valeur des sondages Dossier 3 : Interpréter les statistiques Tout au bord du précipice de l'erreur, les mathématiciens ordonnent leur environnement. Les écueils n'en sont plus quand ils sont reconnus et les statistiques aident les sciences naturelles à classer les êtres et les choses en fonction de leurs caractéristiques. Le rêve du système de vote parfait / Le classement des données / Élections, pièges à tromperie / Robustesse et régressions linéaires robustes Et toujours En bref- jeux et énigmes - solutions

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Dossier 1 : Cercles entre eux Le cercle, ou la perfection faite courbe, est à l'origine de problèmes, millénaires dont il est la seule vedette : décimales de π, constructions à la règle et au compas, quadrature impossible... Source d'invariants fascinants (angles inscrits, puissance d'un point...) et résultat de nombre d'optimisations, il n'a pas fini de nous faire rêver! La mesure de cercle : Al-Kashi dans les pas d'Archimède / Faire le tour du cercle / Angles inscrits : un théorème de Thalès ou de Pythagore? / Les cercles : des courbes qui ne manquent pas d'aire / La puissance d'un point par rapport à un cercle : un invariant de Steiner / Le cercle trigonométrique Dossier 2 : Catalogue de cercles Dès que trois points ne sont pas alignés, ils sont sur un même cercle. On comprendra pourquoi les cercles "catalogués" sont souvent construits à partir de points remarquables d'un triangle. Les mathématiciens ont eu le temps d'en répertorier des milliers. Le cercle inscrit dans un triangle / Dans les pas d'Euclide / Quand on ne peut plus dire "9 points c'est tout" / Le théorème des sept cercles / Le "who's who" des cercles Et aussi Petit tour en Polygonie / Les cercles de Manhattan / Les cercles du tore / Le cercle osculateur Et toujours En bref - jeux et problèmes - solutions

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Dossier 1 : Cercles entre eux Le cercle, ou la perfection faite courbe, est à l'origine de problèmes, millénaires dont il est la seule vedette : décimales de π, constructions à la règle et au compas, quadrature impossible... Source d'invariants fascinants (angles inscrits, puissance d'un point...) et résultat de nombre d'optimisations, il n'a pas fini de nous faire rêver! La mesure de cercle : Al-Kashi dans les pas d'Archimède / Faire le tour du cercle / Angles inscrits : un théorème de Thalès ou de Pythagore? / Les cercles : des courbes qui ne manquent pas d'aire / La puissance d'un point par rapport à un cercle : un invariant de Steiner / Le cercle trigonométrique Dossier 2 : Catalogue de cercles Dès que trois points ne sont pas alignés, ils sont sur un même cercle. On comprendra pourquoi les cercles "catalogués" sont souvent construits à partir de points remarquables d'un triangle. Les mathématiciens ont eu le temps d'en répertorier des milliers. Le cercle inscrit dans un triangle / Dans les pas d'Euclide / Quand on ne peut plus dire "9 points c'est tout" / Le théorème des sept cercles / Le "who's who" des cercles Et aussi Petit tour en Polygonie / Les cercles de Manhattan / Les cercles du tore / Le cercle osculateur Et toujours En bref - jeux et problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Mathématiques et philosophie : regards croisés Il fut un temps où mathématiques et philosophie étaient une seule et même discipline de l'esprit. Un temps qui n'est pas si lointain : mille ans après les anciens Grecs, les grandes avancées de Descartes, Pascal, Newton, Leibniz... agrègent des réflexions qui sont aussi bien de nature scientifique que philosophique. Et deux mille ans plus tard, le débat qui opposait Aristote et Platon fait toujours rage. Mathématiques et philosophie : destins liés / La nature profonde des mathématiques / Nominalisme, réalisme et mathématiques / Descartes, le doute comme méthode / Ludwig Dossier 2 : Algorithmes : performances et limites Le nombre, l'infini Dieu, le hasard...Voici quelques-unes des grandes notions que mathématiciens et philosophe se disputent. Percevoir la nature profonde des nombres, qu'ils soient définis ou, pire, aléatoires, n'est possible qu'au prix d'une double abstraction : celle de ses croyances, et celle de la trompeuse perception de la réalité physique. Les dangers de philosopher sur les nombres / L'infini, une affaire de philosophes ou de mathématiciens ? / La part du hasard / Dieu et les mathématiques Dossier 3 : La logique Selon les époques, la logique est l'apanage de la science, ou du langage, ou bien des deux! Appréciée dans l'Antiquité, la logique tombe ensuite en désuétude. Un mathématicien et auteur à succès, Lewis Carroll, lui rendra ses lettres de noblesse. La philosophie analytique en fait son outil de prédilection, et Kurt Gödel restera l'homme qui emmena la logique dans des contrées où nul n'avait osé imaginer voyager. La logique, entre quotidien, mathématiques et philosophie / Gottlob Frege / Paradoxes / Lewis Carroll et sa logique / Les théorèmes s'incomplétude de Kurt Gödel Et aussi Des séminaires de philosophie... pour mathématiciens / Viète, Descartes, Pascal, Malebranche / La rupture / Gabriel de Lautrec / Positivisme et néo-positivisme Et toujours Jeux et problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Dénombrements Dénombrer, c'est bien plus que compter! Si l'on sait réciter en une monotone litanie la suite des entiers 1,2,3,4... jusqu'à l'épuisement, on ne connaît pas toujours toutes les subtilités que recèlent les combinaisons, les arrangements, les permutations et autres dérangements. De la théologie à la combinatoire moderne / Dénombrements élémentaires / Dénombrer les mains au poker / Histoires de dérangements / La bijection pour dénombrer / Autour de Catalan / Chemins faisant Dossier 2 : Mathématiques discrètes Tous les objets formant des familles finies ou dénombrables peuvent être traités comme des nombres. On peut alors leur appliquer de puissants principes qui rendent les démonstrations merveilleuses. Bienvenue dans le monde des maths discrètes, le pays où tout est nombre. Le principe des tiroirs / Introduction, récurrence et récursivité / Les nombres de Catalan / Les fonctions génératrices / Le principe de l'extremum Dossier 3 : Jouer avec la combinatoire Par nature, les mathématiques discrètes sont facilement représentables : des grilles de Sudoku aux problèmes de coloriage en passant par l'assemblage des pièces d'un puzzle ou la résolution de casse-tête, les interprétations visuelles ne manquent pas pour décrire les propriétés du monde discret. Le chercheur et l'amateur, l'utile et l'agréable, le ludique et le sérieux, tous sont conviés au banquet de la combinatoire. Et aussi Le coloriage du plan / Le rangement de ma boîte de cubes / Combien existe-t-il de grilles de sudoku’ / Décompositions d'un carré Et toujours Aux origines du dénombrement - le mauchecar de la combinoraticienne - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Cartographie Le cartographe doit être capable de projeter la représentation de la surface du globe sur une surface plane, tout en conservant les principales contraintes géométriques (longueurs, distances...) qui peuvent exister. Autant de problèmes pour lesquels le savoir-faire d'un mathématicien représente un atout considérable. L'évolution des mesures / La géométrie sphérique / Gauss et la cartographie / Le chemin optimal du randonneur / Des projections à la carte Dossier 2 : Géographie physique A l'heure où les modèles climatiques constituent un enjeu majeur, il n'est pas inutile de rappeler que les mathématiques jouent un rôle important dans l'explication de certains phénomènes naturels comme les marées, le vent ou encore les courants marins. Tangente vous aide à y voir plus clair. La longueur des rivières / Les marées, phénomène complexe et fascinant / Vents et courants marins / Les ondelettes, un outil sorti de terre Dossier 3 : Géographie humaine Les enjeux politiques, démographiques, économiques, sociaux, sociétaux (et bien d'autres) autour de la géographie humaine sont colossaux. On le mesure aujourd'hui à l'aune du débat sur les retraites, qui n'épargne aucun pays dans le monde. Parmi les chiffres incontournables qui sont utilisés dans tous les modèles figurent les données démographiques. L'espérance de vie / Le recensement de la population / Autour de l'équation de Verhulst / Démographie et mathématiques / Systèmes dynamiques et chaos Et aussi La forme de la terre / Le GPS / 'organisation des statistiques en France Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les suites élémentaires Bien que récemment théorisées, les suites se sont composées comme un incontournable outil de l'analyse. Les plus simples d'entre elles font partie de notre quotidien. Qui n'a jamais entendu parler des suites arithmétiques et géométriques, ou de la suite de Fibonacci? De la suite dans les idées / Relations de récurrence en économie / Les trésors inépuisables de la suite de Fibonacci / Suites à récurrence linéaire ou affine / Une encyclopédie des suites d'entiers Dossier 2 : Approximation et calcul de limites Quand on évoque une suite ou une série, on parle de l'infini, parfois même sans le savoir! Infinité des décimales d'un nombre réel, infinité d'opérations imbriquées, infinité d'étapes avant d'atteindre une limite...Les fractions continues, l'algorithme de Babylone, les développements en série sont autant de moyens d'obtenir un résultat à l'aide d'une infinité d'opérations. Développements décimaux / Les fractions continues / Archimède, un génie intègre / Le calcul des racines carrées / La surprenante divergence lente de la série harmonique Dossier 3 : Jeux et problèmes en série Les suites se prêtent au jeu, et Tangente vous propose d'en abuser sans modération.Ces problèmes peuvent être inspirés des défis que les mathématiciens se lançaient au Moyen Age, des tests modernes de QI ou des programmes scolaires. Suite de jeux, jeux de suites / Les suites logiques et leurs secrets / Problèmes / Au baccalauréat, avec une calculatrice Et toujours En bref - le Who's Who des suites - notes de lectures

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les animaux mathématiciens L'homme n'est pas seul à développer des concepts mathématiques : certains grands singes construisent des classes d'équivalence et manipulent des nombres avec aisance. Et pour comprendre le comportement social de certains groupes d'oiseaux ou d'insectes, il faut également recourir à une modélisation mathématiques. Les abeilles géomètres / Jean-Henri Fabre / Les activités cognitives mathématiques des chimpanzés / La taille des ?ufs de coucous / Nuées, essaims, colonies : des comportements sociaux coordonnés / Diriger des insectes avec une équation Dossier 2 : Dynamique des populations L'extraordinaire diversité du vivant nécessite une procédure de classement délicate : elle s'applique à un ensemble mouvant, dont les éléments sont en perpétuelle mutation. Les mathématiques apportent l'outil rigoureux assurant, entre autres, la description de l'évolution des populations, ou permettant la compréhension des équilibres entre proies et prédateurs. Modèle de type proie-prédateur / Interview : Sylvie Méléard / La matrice de Leslie et la dynamique des populations / La classification des espèces et l'évolution Dossier 3 : Bio statistiques et génétiques La compréhension de la structure fondamentale su vivant passe aujourd'hui par une description de l'ADN. L'étude et la modélisation de la fréquence d'apparition des gènes éclairent la théorie synthétique de l'évolution d'un jour nouveau, intégrant la théorie neutraliste. Et l'exploration du fonctionnement de notre cerveau a conduit au développement des réseaux de neurones. La structure géométrique de l'AD N / La théorie neutraliste de l'évolution / Des mouches, des maths et des hommes / Les réseaux de neurones Et toujours En bref - notes de lectures - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1: Évolution des modèles La chimie est à la fois la plus ancienne et la plus jeune des sciences. Ancienne par ses questionnements sur la matière, jeune dans le développement de modèles explicatifs pertinents, dont les plus sophistiqués s'appuient sur des conceptions mathématiques d'une grande modernité. Une petite histoire de chimie mathématique / Le calcul, indispensable à l'expérience / Mise en équation de la chimie / L'âge de la Terre La naissance de la chimie quantique Dossier 2 : Aux frontières de la physique La chimie se partage avec la physique l'étude de la structure de la matière et des grandes lois qui régissent son comportement. Pas étonnant, donc, qu'un chimiste soit amené à jongler avec thermodynamique, mécanique quantique ou encore mécanique statistique. L'énergie chimique dans tous ses états / Les mystères de l'entropie / Les urnes d'Ehrenfest / Pourquoi la glace flotte sur l'eau /Équilibres et réactions Dossier 3 : Structure moléculaire et réactions La chimie s'intéresse aux propriétés des molécules et à leurs transformations les une en les autres. Elle conduit de l'échelle microscopique à celle, macroscopique, des réactions observées. Que l'une soit la clé de la compréhension de l'autre, c'est là le grand secret du chimiste! Cayley et le calcul des isomères chimique / L'énigme de la chiralité / Les secrets mathématiques de l'équation de réaction / Les réactions oscillantes Et toujours En bref - jeux - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Systèmes linéaires et transformations géométriques Les matrices, ce sont ces tableaux de nombres sur lesquels on peut définir des opérations naturelles. Ces objets algébriques permettent de modéliser naturellement les systèmes d'équations linéaires. Plus surprenant est leur rôle dans la description des transformations géométriques : les matrices leur ouvrent des horizons inattendus! Espaces vectoriels : l'algèbre à l'assaut de la géométrie / Opérations élémentaires sur les matrices / Des matrices pour transformer / Transformations affines et points invariants /Systèmes linéaires et matrices / Le sens du déterminant Dossier 2 : Les matrices sont partout Que l'on soit ou non mathématicien, les matrices nous environnent. La planète Neptune a d'abord été découverte sur le papier, grâce à un proto-calcul matriciel, avant d'être effectivement observée. Le fonctionnement des tableurs est basé sur la théorie des matrices. L'économie et la finance en sont friandes. L'électronique, l'informatique et toutes les sciences de l'ingénieur ne peuvent s'en passer. Il est temps d'apprendre à reconnaître ces objets! Manipuler les matrices avec un tableur / Diagonaliser pour calculer les puissances d'une matrice / Des applications pratiques / Les tableaux entrées-sorties en économie / Les matrices actuarielles Dossier 3 : Des matrices et des jeux Un grand nombre de jeux font intervenir des tableaux de nombres. Ainsi, derrière chaque jeu de grille logique, chaque carrée magique, chaque Sudoku, se cache une matrice,souvent utile dans sa résolution. Mais les matrices se nichent parfois là où on ne les attends pas : dans les jeux littéraires, où l'écriture sous contrainte les a depuis longtemps déjà mises à contribution. Les carrés magiques : des matrices comme les autres Les carrés magiques : des matrices comme les autres / Divertissement littéraires / Problèmes / Solutions / Le Sudoku Et toujours En bref - le who's who des matrices

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SOMMAIRE Dossier 1 : Jeux à l'information complète Les jeux qui se prêtent le plus naturellement à une étude théorique sont les "duels de réflexion pure à information complète", qui opposent deux joueurs disposant de toute l'information à chaque instant et qui ne font pas appel au hasard. On pense bien évidemment aux échecs ou aux dames, mais on commencera par une famille de jeux simples mais d'une grande richesse : les jeux de Nim. Un graphe pour représenter un jeu / Les jeux de Nim / Les jeux de Nim infinis / Les gendarmes et les voleurs / Le jeu de Hex Dossier 2 : Jeux à information incomplète Qu'est-ce qui va bien pouvoir différencier les "jeux à information incomplète" des duels de réflexion pure à information complète? On le devine aisément : c'est soit l'intervention du hasard, soit l'asymétrie de l'information disponible pour les différents joueurs! La compréhension de ces jeux est parfois subtile, comme le prouve l'exemple de la vente aux enchères. Dans ce type de situation, les outils standard de la modélisation et de la décision doivent être accompagnés des sciences de l'aléa, et même de psychologie... Les jeux à information incomplète / La vente du billet de cent euros / Le théorème de la ruine / Le meilleur coup aux échecs / Les ventes aux enchères / De l'impossibilité de quantifier le hasard Et aussi Les frères ennemis des jeux mathématiques / La naissance de la théorie des jeux / Une typologie des jeux Et toujours En bref - notes de lectures - jeux littéraires - problèmes

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les invariants en arithmétique et en algèbre L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Elle permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin, ou jeu du pousse-pousse, ne peut être résolu, ce qui assura en son temps la fortune de son inventeur Sam Loyd. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences, sont utilisés pour améliorer la qualité des transmission de données. Parité et congruences / Le Taquin et le nombre d'inversions / Signature d'une permutation / La méthode de descente infinie de Fermat / Les codes correcteurs d'erreurs Dossier 2 : Les invariants en géométrie Pour les polyèdres, Leonhard Euler a mis en évidence un invariant d'une simplicité déconcertante : le nombre de sommets plus le nombre de faces moins le nombre d'arêtes est toujours égal à 2! La caractéristique d'Euler est l'un des premiers invariants topologiques de l'histoire. La géométrie n'est pas en reste : comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles’ La réponse fournie à la fin du XIXème siècle par Felix Klein repose tout entière sur la notion d'invariant. Les invariants et le programme d'Erlangen / Transport de propriétés par les transformations géométriques / La caractéristique d'Euler-Poincaré / Les invariants topologiques / Théorème du point fixe / Résoudre le Rubik's Cube Et aussi Les invariants comme outils de preuves / Des invariants pour jouer Et toujours En bref - notes de lectures - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les ambassadeurs des mathématiques Ils sont mathématiciens, écrivains ou chroniqueurs, animateurs, pédagogues. Ils se sont tous investis pour faire partager au plus grand nombre leur passion des mathématiques. Et aussi Descartes, le doute comme méthode / L'ambassadeur par excellence / Culture scientifique et culture générale / Quelle belle démonstration ! / La gardienne des lieux / Léo Ferré, la poésie des morts mathématiques / Plus fort qu'Einstein ? / Il y a autant de points sur une droite que dans un plan ! / L'invraisemblable nombre Oméga / Analogie et transport de propriété / La révolution des Sept ponts Dossier 2 : Math-Quiz Le triangle / Les nombres premiers / Les mathématiciens français / Les revues et livres mythiques / Les polygones / Les courbes / Les grands théorèmes / Probabilités et statistiques / Les citations / L'algèbre / Le cercle / La trigonométrie Et toujours XVIIème : Le siècle des bâtisseurs (Fermat, Pascal, Descartes) - XVIIIème : Le siècle des amis (Voltaire, D'Alembert, Condorcet) Galois et Poincaré - Ceux qui ont fait Tangente - Le CIJM - Dans l'espace francophone

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SOMMAIRE Dossier 1 : C'est impossible, on l'a montré! De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Comment peut-on par exemple prouver qu'il est impossible de construire, à la règle et au compas, un carré de même aire qu'un cercle? Il faudra attendre deux mille ans pour qu'une réponse émerge, audacieuse car sortant du cadre de la géométrie. La quadrature du cercle / La quadratrice de Dinostrate / La trisection de l'angle / Résoudre les équations polynomiales / Impossible est-il géométrique? /Des imaginaires parfois complexes / Découpages paradoxal et néanmoins rigoureux Dossier 2 : Variation autour de la notion de preuve Les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur, explorateur de la pensée qui s'est aventuré dans des contrées inconnues. En mathématiques, ces questions, une fois adoptées par la communauté, reçoivent le nom de conjectures. Certaines se révéleront correctes, d'autres fausses, mais toutes ont en commun qu'on en ignore le statut. Il y a également les propositions indécidables, et même des preuves d'existence d'objets que l'on ne peut exhiber. Les conjectures célèbres / L'impossible de Gödel : la fin d'un rêve / Les preuves inacceptables en mathématiques / le théorème de Feit-Thomson reçoit une preuve formelle Dossier 3 : Jouer avec l'impossible Des esprits curieux explorent les conséquences des règles de la logique et de certains axiomes, par exemple pour prouver que l'on peut découper une boule et en rassembler les morceaux de façon à en obtenir deux de même volume! Et aussi Un problème impossible et néanmoins soluble! / A nos lecteurs, rien d'impossible / Quelques impossibilités célèbres / Tous les nombres réels sont égaux !/ Solutions Et toujours Figures impossibles - Littlewood, le mathématicien qui tutoyait l'impossible - les événements de probabilité nulle - l'échelle de l'existence mathématique - notes de lecture

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SOMMAIRE Dossier 1 : L'intégrale de Riemann L'intégrale, outil analytique, répond à l'origine à un besoin de nature géométrique : calculer l'aire délimitée par des courbes du plan. C'est précisément ce que réalise l'intégrale de Riemann pour des graphes de fonctions "suffisamment régulières". Ainsi, le lien entre aire et calcul intégral apparaît de manière éclatante avec la définition de Riemann, l'une des approches de l'intégration les plus faciles à appréhender. Aire et intégrale / Les sommes de Darboux et de Riemann / Le sens de l'intégrale / Les méthodes de quadrature Dossier 2 : Les bases du calcul intégral Une fois l'intégrale définie et son usage délimité, se pose la question de son calcul. Si certaines méthodes n'exigent qu'un minimum de technique ( mais beaucoup d'inventivité), en jouant sur des caractères spécifiques de l'intégrale cherchée, comme des invariants ou des symétries, la plupart des intégrales nécessitent un calcul qui passe par la détermination de primitives de la fonction intégrer. Des caractéristiques de l'intégration comme le linéarité, et des techniques liées aux propriétés de la dérivation comme l'intégration par parties ou le changement de variables dont alors bienvenues. De la primitive à l'intégrale / L'intégration par parties / Les formules de Wallis / L'intégrale double / La technique du changement de variable / Les règles de Bioche Et aussi Evariste et le calcul intégral / La méthode des indivisibles / L'accueil mouvementé du calcul intégral / Aux origines de l'intégral / Newton vs Leibniz / De Cauchy à Lebesgue / Convergence d'intégrales impropres / Le surplus du consommateur / Lebesgue et le point de vue de la physique Et toujours En bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : L’informatique, d’hier à aujourd’hui De l'algorithme d'Euclide à la machine à calculer de Pascal, du premier ordinateur potentiel de Babbage à la machine de Turing, le temps s'est accélérer pour permettre à l'informatique d'envahir le monde moderne. La préhistoire de l’informatique / Babbage et le premier ordinateur potentiel / Alonzo Church, Alan Turing et la calculabilité / Les perspectives de l’informatique au XXIe siècle / Informatique, popularisation et médiation / La Société informatique de France Dossier 2 : Maths et informatique : regards croisés L'informatique n'existerait pas sans les mathématiques. Mais réciproquement, l'expérimentation ou la démonstration automatique sont quelques-une des portes que l'informatique ouvre aux mathématiques. Algèbre de Boole / Langages et récursivité / Mathématiques expérimentales / Les automates cellulaires / Démonstration : l’ordinateur à la rescousse / Langages rationnels et automates finis Dossier 3 : Quelques applications du partenariat Maths-Info Mathématiques et informatique, une équipe gagnante. Que d'applications de ce partenanriat talentueux voient régulièrement le jour! Et aussi Images numériques, du pixel à la topologie / Application à un investissement financier / Hacking et sécurité Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : L’informatique, d’hier à aujourd’hui De l'algorithme d'Euclide à la machine à calculer de Pascal, du premier ordinateur potentiel de Babbage à la machine de Turing, le temps s'est accélérer pour permettre à l'informatique d'envahir le monde moderne. La préhistoire de l’informatique / Babbage et le premier ordinateur potentiel / Alonzo Church, Alan Turing et la calculabilité / Les perspectives de l’informatique au XXIe siècle / Informatique, popularisation et médiation / La Société informatique de France Dossier 2 : Maths et informatique : regards croisés L'informatique n'existerait pas sans les mathématiques. Mais réciproquement, l'expérimentation ou la démonstration automatique sont quelques-une des portes que l'informatique ouvre aux mathématiques. Algèbre de Boole / Langages et récursivité / Mathématiques expérimentales / Les automates cellulaires / Démonstration : l’ordinateur à la rescousse / Langages rationnels et automates finis Dossier 3 : Quelques applications du partenariat Maths-Info Mathématiques et informatique, une équipe gagnante. Que d'applications de ce partenanriat talentueux voient régulièrement le jour! Et aussi Images numériques, du pixel à la topologie / Application à un investissement financier / Hacking et sécurité Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les angles en géométrie classique Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Certains des résultats qui les caractérisent sont célèbres : la somme des angles d'un triangle, l'égalité des angles alternes internes et correspondants quand une droite coupe deux parallèles, les propriétés des angle droits, le théorème de l'angle inscrit... D'où viennent les degrés / Relations dans le triangle / Le théorème de l'angle inscrit / Rotations et symétries / Tous les triangles sont-ils équilatéraux ? Dossier 2 : Avec la trigonométrie La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle évoque pour certains des calculs complexes (c'est le cas de le dire!) et des formules difficiles à retenir. Pour eux le sinus gagnerait à rester une cavité nasale, le cosinus un personnage emblématique des débuts de la bande dessinée et la tangente le plus passionnant des magazines mathématiques. La trigonométrie est pourtant d'une importance capitale dans la maîtrise des relations métriques en géométrie. Elle l'est aussi pour se repérer, tant en mer que dans l'espace,et a servi à la conception de nombreux instruments de mesure. Du théorème de Pythagore à une formule de trigonométrie / L'arc de sinus d'al-Khwarizmi à Alpian / Angles, produit scalaire et orthogonalité / L'astronomie grande consommatrice de trigonométrie / Le dos de l'astrolabe alidade et carré des ombres / Faisons le point Et aussi Les angles corniculaires chez Euclide / D'Euclide à Hilbert / Multiples personnalités de l'angle / L'exponentielle complexe Et toujours le dictionnaire des angles - en bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les types de graphes Quelques points et des traits pour les relief suffisent à créer un graphe. Une idée aussi simple se devait d'engendrer un monde foisonnant d'objets tous plus étonnants les uns que les autres : les graphes planaires sont utilisés pour réaliser des circuits, les graphes binaires sont indispensables à l'informatique, les graphes de Feynman sont omniprésents en physique... Les idées les plus élémentaires sont souvent les plus riches! Obstruction et stabilité pour classifier les graphes / Des graphes et des surfaces à partir d'un carré / Les graphes planaires éviter les croisements / Des graphes et des diagrammes pour la physique / Diagrammes de Schlegel : les polyèdres sont des graphes Quand le chemin se joue aux dés / Graphes pondérés et graphes orientés Dossier 2 : Graphes et décision De par leur structure purement topologique, les graphes sont un puissant outil d'aide à la décision. Les arêtes munies d'une pondération peuvent aussi bien représenter des distances entre deux sommets connectés que des temps de parcours ou des limites de capacité dans un réseau. C'est le point de départ de l'utilisation des graphes pour planifier et ordonnancer les tâches dans une chaîne de production, hiérarchiser les étapes dans une suite d'instructions informatiques... et même constituer un réseau de voies pour faire passer des trains! La fourmi et le problème du voyageur de commerce / Un projet dans le bon ordre: la méthode PERT / L'algorithme de Dijkstra / Arbres, jeux et stratégies / La recherche opérationnelle / Des arbres pour faire passer des trains Et aussi Tous les chemins mènent à Königsberg / Développements actuels Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les fondements de la preuve La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques. Tout au long d'une longue histoire, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien. Mais des remises en cause et des interrogations sont venues questionner la nature me^me de ce que l'on appelle "une preuve". Peut-on prouver avec un dessin ? Une assertion est-elle forcément vraie ou fausse? Démontrer : une histoire au long cours / Les bases de la logique / Les limites de la preuve / Kurt Gödel : le vrai et le démontrable / Une démonstration peut-elle être purement visuelle ? Dossier 2 : La géométrie projective Les différents modes de démonstrations sont aujourd'hui bien établis. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donnée... Quel plaisir de trouver l'astuce, le "truc", qui vient éclairer complètement un problème ! C'est sans doute celui qu'a éprouvé Archimède lorsqu'il s'est écrié "Eureka"! Démontrer : Une grande variété de méthodes / Analyse et synthèse : une spécificité des mathématiques / Comment trouver un bon invariant / La démonstration par récurrence Et aussi Cela existe, je l'ai démontré ! / Les belles preuves / Idées lumineuses / Merveilleux contre-exemples Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Le concept de fonction Une fonction f est un processus, une "boîte noire", qui, à partir d'un objet X, en fait correspondre un autre, f(x). Essayer de formaliser précisément cette idée naïve s'est révélé une belle gageure : des Babyloniens à Euler en passant par Newton et Leibniz, personne n'a su proposer une définition qui fasse l'unanimité ! Il faudra attendre le XXème siècle pour qu'un travail sur les fondements des mathématiques permettre de faire émerger une approche cohérente, ainsi que des propriétés fondamentales comme la continuité et les théorèmes qui en découlent. Un petit voyage à travers les âges : de l'expression à la fonction / Le théorème des valeurs intermédiaires / La controverse des cordes vibrantes / Continuité locale, continuité sur un intervalle / Les pièges de l'intuition Dossier 2 : La dérivabilité La notion de dérivée d'une fonction en un point est un concept directement issu de la physique, qui permet d'exprimer de manière quantitative la vitesse d'un mobile à chaque instant. Dans le cadre d'un graphe fonctionnel, la dérivée est simplement une pente, celle de la tangente ! Cette formalisation permet de visualiser aisément certaines propriétés, comme le fameux théorème des accroissements finis. De la tangente à la dérivée / Souvent, fonction varie / Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse / Approximations et dérivées successives / Interpoler, extrapoler et approximer : trois idées complémentaires / Une approche primitive de l'intégration Dossier 3 : Équations et graphes Pour les algébristes de la Renaissance, la fonction était une sorte de "formule magique" qui permet d'obtenir une solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des coordonnées, les fonctions se transforment en courbes, en surfaces... avant de devenir plus abstraites. Et aussi Courbes et fonctions / Équations différentielles et variations / Équations algébriques : une histoire sans fin ! / Les fonctions de plusieurs variables / Les fonctions implicites Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les secrets de l'assurance vie Les premières rentes viagères datent de l'Antiquité. Que de chemin parcouru pour aboutir au panel de contrats d'assurance vie dont on dispose aujourd'hui! Pour arriver à proposer des produits adaptés à chaque profil, il n'y a pas de secret: il faut disposer de données fiables. Mais comment recueillir de telles informations dans le cadre aléatoire d'une destinée humaine? Une petite histoire du concept de mortalité / Que sont vraiment nos tables de mortalités? / Curieuse espérance de vie / Ajuster les tables de mortalité aux observations / La tarification des assurances vie classiques / Mensualiser une rente annuelle Dossier 2 : L'actuariat accident Chacun cherche ô se protéger au maximum des aléas de la vie. Les particuliers essaient de mettre leurs proches à l'abri, les entreprises tentent de se prémunir contre les risques financiers ou... climatiques! Comment les assureurs évaluent-ils les primes associées à chaque type de couverture ? Sans surprise, ce sont les mathématiques du hasard, plus particulièrement les notions d'espérance et de chaîne de Markov qui sont mobilisées. Les risques maritimes à l'origine des assurances " accidents" / Se protéger contre les risques météorologiques / Prendre en compte les événements rares, des modèles en cascade / Les paradoxes de l'assurance enlèvement / Tarifer a priori dans a priori / La tarification a poste-riori, une belle application des chaînes de Markov Dossier 3 : Gérer ses réserves et éviter la ruine Les premiers calculs mathématiques d'une prime d'assurance équitable ont abouti... à des faillites! Le provisionnement n'avait pas été bien évalué. Quelles provisions anticiper pour faire face à des sinistres qui peuvent courir sur des décennies ? Les sciences de l'aléa, utilement secondées par la théorie des jeux, permettent de garantir la bonne fortune et la prospérité des assureurs. Et aussi Les réserves mathématiques en assurance vie / Gérer ses réserves aujourd'hui pour indemniser demain / Les compagnies d'assurance risquent-elles la faillite? / Le problème de la ruine en théorie des jeux Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Statistique et médecine : un mariage de raison Que ce soit pour comparer J les effets de médicaments différents ou de placebos, pour déterminer un indice de masse corporelle idéal ou pour quantifier la fiabilité d'un test de dépistage, le recours aux raisonnements statistiques et probabilistes se révèle indispensable en médecine. L'indice de masse corporelle / Le théorème de Bayes : un outil pour le médecin / Deux paradoxes statistiques en médecine / Médicament versus placebo / Odds ratio : les risques relatifs Dossier 2 : Épidémiologie La transmission externe des microbes ou des virus tout comme la propagation interne de cellules malignes se fait selon des algorithmes dont la modélisation est régie par une branche des mathématiques : celle des systèmes dynamiques. La propagation des épidémies / Daniel Bernoulli et la modélisation de la variole / Le modèle de Ross : une explication de l'extension du paludisme / Un modèle probabiliste pour l'immunothérapie du cancer / Markov : les chaînes de l'espoir Dossier 3 : Maths et techniques médicales De nombreuses branches des maths ont été sollicitées pour mettre au point les technologies nouvelles, en particulier d'imagerie, utilisées par la médecine la géométrie, l'analyse de Fourier et plus récemment la théorie des ondelettes. Et aussi l'imagerie médicale / Les objets de santé connectés / Des équations différentielles en oncologie Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : La droite et les nombres réels Représenter les nombres réels comme les points d'une droite est une idée qui a bouleversé la géométrie autant que l'analyse. Descartes, en repérant les points du plan par deux nombres, y a joué un rôle majeur. Depuis son apport, on sait mettre une droite en équation ! La droite des nombres : des définitions contre l'intuition Dossier 2 : La droite géométrique Depuis Euclide, la droite est à la base de la géométrie. La plupart des fi gures en contiennent et de nombreux théorèmes ont relevé le défi de démontrer que certains points sont alignés ; on en déduit l'existence de droites remarquables, comme celles d'Euler ou de Simson. Euclide : une introduction de la droite / Miraculeux théorèmes d'alignement! / Des surfaces faites de droites: / Harmonieux faisceaux de droites / Des enveloppes caustiques / Les tangentes et les asymptotes Et aussi Nouvelles lignes d'horizon / Les droites dans les espaces courbes: les géodésiques / La droite projective : une fructueuse mise en perspective / Construction d'une droite sur ordinateur Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : La place des maths dans l'architecture Depuis l'Antiquité, les mathématiques sont un partenaire indissociable de l'architecture. Ces liens reposent aujourd'hui sur des considérations pratiques et scientifiques, mais autrefois le mysticisme jouait aussi un rôle important. Dans le domaine des proportions, l'utilisation du nombre d'or en est un exemple connu. Mathématiques et architecture au cours des siècles / Des maths au service de solutions sociales / L'architecture face aux maths / Architecture et numérique : une mathématisation de l'espace / Jean-Louis Brahem : inspiré par les maths / Les proportions de Nikos Salingaros / Buckminster Fuller, touche-à-tout de génie Dossier 2 : Les maths utilitaires en architecture L'architecture s'étend au-delà des constructions de bâtiments. Des considérations géométriques interviennent dans la conception d'infrastructures étonnantes. Les ponts, les huttes ou les échafaudages tirent leur solidité du respect de règles élémentaires de physique mathématique. La construction de navires fait appel à la mécanique pour concevoir des bateaux stables. Le métacentre an architecture navale / Le flambement du mât d'Euler / Les ponts suspendus / Tepees et échafaudages / Le cône de Greenwich Et aussi Courbes et surfaces / Courbes et surfaces architecturales / La chaînette, l'élégance faite courbe / Zaha Hadid, architecte de l'impossible / La gare de Liège-Guillemins / Quelques états du pentagone / L'hyperboloïde, ami des architectes Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche Un ensemble est une collection d'objets – les éléments – entre lesquels il peut exister toutes sortes de relations. Au niveau élémentaire, on peut visualiser les ensembles à l'aide de « patatoïdes » reliés par des flèches pour matérialiser les relations qui les lient, mais cette représentation naïve trouve rapidement ses limites, en particulier quand les ensembles sont infinis. La théorie des ensembles offre surtout un cadre à la formalisation rigoureuse de tous les domaines des mathématiques et conduit à des démonstrations renversantes : plus qu'une simple théorie, c'est une nouvelle approche des mathématiques. De la collection d'objets à l'ensemble / L'ensemble et ses parties / Les diagrammes en patate, une idée qui donne la frite / Relations et applications : structurer les ensembles / Le nom des éléments d'un ensemble / Éblouissantes relations binaires / Georg Cantor : passer du fini à l'infini Dossier 2 : Nombres, opérations, structures Les nombres sont au centre de l'édifice mathématique. Après une longue période où ils étaient appréhendés par l'intuition, le besoin s'est fait sentir de les concevoir à l'aide d'une axiomatique rigoureuse ; celle introduite par Peano pour les entiers naturels en est le plus bel exemple. La théorie des ensembles a ensuite débouché sur la construction des rationnels, des réels, des complexes. S'inspirant de ces méthodes et les généralisant, elle a permis de définir des structures plus générales comme la notion de groupe et de donner un socle rigoureux à la géométrie dans le cadre de la théorie des espaces vectoriels. Construire des nombres, une histoire au long cours / Adhérez aux groupes ! / L'ensemble triadique de Cantor / Nouvelle : Bizarre hasard Dossier 3 : Infini, axiomatique et paradoxes Aussi simple et féconde qu'elle soit, la notion d'ensemble révèle, une fois soumise à l'analyse impitoyable du logicien, de redoutables problèmes techniques. Des paradoxes émergent : peut-on considérer l'ensemble de tous les ensembles ? Un ensemble peut-il être un élément de lui-même ? Les ensembles infinis soulèvent d'autres questions. Combien de types d'infinis fondamentalement différents existe-t-il ? L'infini, l'autoréférence, les paradoxes, cachés en embuscade, réservent bien des surprises au voyageur imprudent Et aussi La théorie des ensembles passionne et divise. Bien qu'ayant été adoptée presque universellement par les mathématiciens, elle donne naissance à de nombreux paradoxes et à autant de controverses... mais aussi à des approches plus ludiques ! Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Approche algébrique Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos. Un nombre complexe, c'est quoi? / Conjugué, module et argument / "C" est un corps algébriquement clos / Les nombres complexes de module 1 Dossier 2 : Représentations géométriques À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Des nombres pas si complexes / Les isométries du plan / Des similitudes intéressantes... / L'inversion / Une belle application des complexes : les ensembles de Julia / La géométrie des complexes / Le théorème de Marden Dossier 3 : Complexes, trigonométrie et analyse Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans C, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie. Des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent désormais plus s'en passer. Et aussi Nombres complexes et trigonométrie : des liens profonds et méconnus / Déambulation dans le plan complexe / L'exponentielle complexe / La fonction Zeta et l'hypothèse de Riemann Et toujours Lu, vu, entendu - en bref - notes de lecture - problèmes - nouvelle : les complexes de bêta - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Approche algébrique Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos. Un nombre complexe, c'est quoi? / Conjugué, module et argument / "C" est un corps algébriquement clos / Les nombres complexes de module 1 Dossier 2 : Représentations géométriques À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Des nombres pas si complexes / Les isométries du plan / Des similitudes intéressantes... / L'inversion / Une belle application des complexes : les ensembles de Julia / La géométrie des complexes / Le théorème de Marden Dossier 3 : Complexes, trigonométrie et analyse Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans C, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie. Des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent désormais plus s'en passer. Et aussi Nombres complexes et trigonométrie : des liens profonds et méconnus / Déambulation dans le plan complexe / L'exponentielle complexe / La fonction Zeta et l'hypothèse de Riemann Et toujours Lu, vu, entendu - en bref - notes de lecture - problèmes - nouvelle : les complexes de bêta - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.