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Le sommaire Dossier 1 : Sous plusieurs angles L’évocation des polygones renvoie généralement aux figures géométriques de nos pavages, souvent réguliers. Leur effective simplicité pourrait faire accroire que leur étude est sans difficulté, donc sans intérêt. Pourtant, certaines opérations demeurent complexes. Sujets traités Qu’est-ce qu’un polygone ? Albert Girard, le précurseur des classifications Taxonomie polygonale Quelques constructions Les polygones réguliers Irrationalité géométrique La naissance d’une étoile Les groupes de symétrie, un outil puissant Randonnée en Polygonie Dossier 2 : Des classiques au sommet Depuis l’Antiquité, on s’est intéressé à calculer l’aire d’un quadrilatère et de polygones simples. Ces questions donnent encore lieu à des développements. Autre problème antique, la construction de polygones réguliers à la règle et au compas. Sujets traités Pick, un théorème inspirant Des polygones entiers Pythagore Héron Heptadécagone : le vrai du faux Les pentagones de Robbins Napoléon, géomètre du monde Dossier 3 : L’univers des quadrilatères Les quadrilatères sont généralement présentés et classifiés comme sous-catégories du parallélogramme. On en arrive ainsi à penser qu’un quadrilatère quelconque n’aurait aucun intérêt. Quelle erreur ! De très belles propriétés se savourent dans les cas les plus généraux. Sujets traités À la rencontre des quadrilatères Ceci n’est pas un carré Les quadrilatères convexes Quadrilatères circonscriptibles Les orthodiagonaux Prolonger pour compléter Dossier 4 : Un monde aux multiples côtés Les polygones sortent largement du cadre strict de la géométrie, avec des applications pratiques ou ludiques. On les retrouve, par exemple, en architecture ou en arithmétique. Ils sont naturellement les tesselles de nombreux puzzles et sujets d’un vaste champ de récréations mathématiques. Sujets traités Quand les polygones forment des nombres Pentacles et pentagrammes La quadrature des polygones Chapeau einstein ! Le théorème de la découpe unique Les richesses cachées de la table de Pythagore Le castel del Monte Le château de Maulnes Le polygone de sommet, un polygone au sommet ! Le polygone de Petrie

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Le sommaire Dossier 1 : Au cœur de son siècle Dans cette ville de Paris qui pouvait revendiquer le statut de capitale intellectuelle de l’Europe, Cauchy a été le pivot scientifique de sa génération. Sa carrière n’eut toutefois rien d’un long fleuve tranquille. Sujets traités Chronologie d’une vie Madame Cauchy se rend à Cherbourg Une personnalité contrastée D’Arcueil à Sceaux, sur les pas de Cauchy L’essor de la presse spécialisée L’engagé Des affinités complexes La bataille de l’infini Comment Cauchy voyait le monde Dossier 2 : Des idées foisonnantes Comment faire le tour de l’un des mathématiciens les plus prolifiques de l’Histoire ? Des polyèdres aux nombres complexes, Cauchy a écrit sur tous les sujets des mathématiques, y imprimant une marque indélébile. Sujets traités Premières découvertes 175 ans après Fermat Un lent mais décisif ralliement aux quantités imaginaires Un nombre pour en trouver d’autres Questions de racines Substituer pour compte Dossier 3 : L’homme des limites L’un des principaux mérites de Cauchy est d’avoir modernisé l’analyse en explicitant la notion de limite. Cette clarification devenue nécessaire a donné une impulsion capitale aux développements ultérieurs. Sujets traités De la suite dans les idées La bataille pour l’espérance Aux fondements de l’analyse moderne L’équation fonctionnelle de Cauchy Un cours d’analyse révolutionnaire mais contesté Condenser les séries Aux origines de l’analyse complexe Dossier 4 : Un héritage omniprésent Son influence a été si profonde que le baron Cauchy est l’un des rares mathématiciens dont on peut dire que, dans tous les domaines, il y a un avant et un après lui Sujets traités En attendant Schwarz La longue aventure du théorème de Cauchy-Lipschitz De l’intuition à la rigueur : le cas des fonctionss S’aplatir pour tracer un cerclee Le mouvement des fluides Le coup de chance de Farey Une distribution pas comme les autres Souffler les polyèdres Les débuts des groupes

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Le sommaire Dossier 1 : π , le roi des nombres C’est sans doute la plus fameuse constante de toutes les mathématiques après le 0 ou le 1. Le nombre π, dont l’histoire est plusieurs fois millénaire et continue de s’écrire de nos jours, exerce une fascination manifeste Sujets traités C’est toute une histoire Il est partout ! Un nombre qui dépasse la raison La quête infinie des décimales Le nombre π, tout un poème Quadrature du cercle : de nouveaux progrès ! π-thèque Dossier 2 : Les amis transcendants L’irruption de la notion d’irrationalité, avec l’impossibilité, pour certains nombres de s’écrire comme un quotient d’entiers, a été un temps fort des mathématiques. Quand ils ne sont pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers, ils sont nommés transcendants. Sujets traités Vous avez dit « transcendant » ? En route vers la transcendance Les nombres de Liouville Au cœur des nombres transcendants Histoire d’e Le nombre de Dottie ou les secrets du cosinus En être, ou pas... Dossier 3 : La famille des algébriques Dans l'univers des nombres réels, on est transcendant ou algébrique. C'est le cas, par exemple, de tous les nombres constructibles à la règle et au compas. Une spécificité de l'ensemble des nombres algébriques est de posséder une structure de corps. Sujets traités De nouveaux nombres avec Richard Dedekind Le problème des radicaux Les premiers irrationnels De quelle matière les nombres sont-ils faits ? L’esprit de corps quadratique Quand l’algèbre rencontre la géométrie Dossier 4 : Curiosités irrationnelles Des quantités non fractionnaires, comme π ou √2, ont amené à s’interroger sur le concept de nombre. C’est sans doute grâce à la notation décimale que la notion de nombre irrationnel a pu être mieux comprise. Mais de là à démontrer qu’un nombre précis en est un, il y a un grand pas ! Sujets traités Des nombres ou non ? Écrire les réels Des irrationnels dans la cour sinus et cosinus : rationnels ou non ? Développement décimal du sonnet Philippe Leblanc, un artiste qui joue avec les nombres Dossier 5 : Des nombres venus d’ailleurs Tout réel pouvant être associé à un développement décimal, de nombreuses questions se posent sur ces décimales. De nouvelles familles de nombres ont été définies à partir de là, comme les nombres normaux ou les nombres univers. Sujets traités Tout est normal... ou presque ! À la recherche de l’univers Omega et les réels calculables Vertigineux nombres surréels Les périodes : de nouveaux nombres

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Le sommaire Dossier 1 : Fractions à l'ancienne Pour parler de fractions, on commence souvent par évoquer l’idée de partage équitable. Pourtant, cette approche ne rend pas justice à la richesse des usages que l’on peut en faire. Sujets traités L’affaire des chameaux Géopolitique des fractions en Chine La règle de trois, la plus belle de toutes les règles ? La proportionnalité : si cruciale, si difficile À la mode de Descartes À l’égyptienne Face aux développements décimaux Fractions et musique: quand 3/4 n'est pas équivalent à 6/8 Dossier 2 : Morceaux choisis Si l’importance de fractions telles que 1/2 ou 365 + 1/4 est facile à saisir, on s’attend moins à voir surgir -1/12 au cœur de la théorie des nombres, ou à découvrir tant de merveilleuses propriétés associées au développement décimal de 1/7. Sujets traités 256/81, le nombre π de l’ancienne Égypte Ce que 1/7 a à dire à la base dix 365 + 1/4 et des poussières L’étonnante présence de -1/12 La quête de 1/137 Des fractions dans la mesure du cercle Dossier 3 : Le règne du périodique Ce n’est que si les temps de retour des planètes à leurs positions initiales sont dans des rapports rationnels que le cosmos reviendra dans son état initial. De la traque des exoplanètes aux billards, le royaume des fractions est celui de l’éternel retour. Sujets traités La Grande année face à l’incommensurabilité Pavages du plan et fractions Le ballet des planètes Les résonances planétaires Les billards rationnels Engrenages Dossier 4 : Des fractions pour observer La valeur 1/3, dont l’expression décimale n’a pas de fin (0,333...), offre un exemple simple de la supériorité de la notation fractionnaire sur la notation décimale. Le développement décimal n’a toutefois pas dit son dernier mot. Sujets traités Les molécules révèlent leurs rapports L’échec des fractions Héron : l’irrationnel vu par les fractions À l’infini sans se presser Les fractions ont l’esprit de corps L’analyse fractionnaire Dossier 5 : Quand les fractions continuent Fondamentalement cantonnées à l’ensemble des nombres rationnels, les fractions parviennent pourtant à s’en échapper lorsqu’on les laisse poursuivre à l’infini. Il existe de multiples façons de faire Sujets traités Sommes sans fin Des dénominateurs à l’infini Séries égyptiennes Les séries de Engel Fractions de fractions sans frein Généalogie des fractions

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Les scientifiques et les étudiants du monde entier connaissent des notions qui portent son nom : le laplacien, la loi de Laplace-Gauss, la transformée de Laplace, les matrices de Laplace et bien d’autres. Pourtant, Pierre-Simon Laplace reste mal connu et est loin d’être reconnu à sa juste valeur.
Souvent décrié pour avoir été à la solde des régimes successifs, de l’Ancien Régime à la Restauration, sa personnalité est en réalité plus complexe et plus profonde.
Quant à ses travaux, ils sont d’une impressionnante variété : probabilités, calcul différentiel, algèbre, mécanique céleste, physique, mais aussi philosophie des sciences et mathématique sociale. Sa préoccupation première était de comprendre le monde et ses lois physiques.
Membre actif de l’Académie des sciences, servi par son excellente plume, il est l’un des rares mathématiciens à être entré à l’Académie française.
Dans cet ouvrage, vous découvrirez ainsi les multiples facettes de celui qui est parfois surnommé « le Newton français

Le sommaire

Dossier 1 : Un savant incontournable

Nourrissant rapidement de hautes aspirations, Laplace s’imposa un rythme de travail impressionnant en lien avec de nombreux domaines. Sa vie révèle un homme bien plus complexe et profond que l’image que l’on en a souvent.

Sujets traités

L’homme de toutes les époques
Un géant passé à la postérité
Du cercle de l’Arsenal à la Société d’Arcueil
Le protecteur de la jeunesse
Dieu, une hypothèse non nécessaire ?
Les multiples fonctions de Laplace
Les prémices de l’algèbre linéaire

Dossier 2 : L’engagement politique

Laplace a vécu tour à tour sous l’Ancien Régime, la Révolution, l’Empire et la Restauration et s’est impliqué en politique dans la perspective d’une forme d’intérêt scientifique supérieur aux aléas des gouvernements successifs.
Sujets traités

Le mal-aimé des historiens
Un rôle dans la déchéance de Napoléon
Un intérêt pédagogique pour
la transmission des savoirs
Un savant qui tient à vulgariser
L’éphémère calendrier républicain

Dossier 3 : La mécanique céleste

À force de travaux, Laplace découvre des phénomènes méconnus : les forces dites de Coriolis, la dynamique des marées, les résonances gravitationnelles... Le touche-à-tout normand avait même prédit l’existence des trous noirs !

Sujets traités

L’empire des résonances
Un regard novateur sur les équations différentielles
De l’équation de Laplace au laplacien
L’intuition géniale de l’existence des trous noirs
Le flux et le reflux de la mer
Mary Somerville et la Mécanique céleste

Dossier 4 : Les probabilités en pratique

Bien que convaincu du fonctionnement déterministe de l’Univers, Laplace a notablement contribué au développement du calcul des probabilités, le faisant entrer dans le champ des mathématiques.

Sujets traités

Le philosophe du hasard
Les probabilités et leur métaphysique
D’Alembert et « pile ou face ».
Une querelle historique
Recensement et loi normale
La première loi des grands nombres
Le Soleil se lèvera-t-il demain ?
Les trois lois des erreurs de Laplace
Mathématiques dans le prétoire
De la probabilité des témoignages au pari de Pascal

Dossier 5 : Vers la physique théorique

Muni des avancées du calcul différentiel, certaines étant l’oeuvre de Laplace lui-même, le savant déploie toute sa puissance démonstrative pour retrouver des lois déjà connues, mais aussi pour en établir de nouvelles.

Sujets traités

Laplace et Lavoisier, des relations complexes
De la thermodynamique à la vitesse du son
L’étude de la capillarité
L’optique au service de l’astronomie

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Trier, comparer, ordonner sont des activités courantes depuis la nuit des temps qui se sont formalisées et perfectionnées en intégrant le domaine des mathématiques sous forme d’inéquations ou de relations d’ordre. C’est en géométrie que sont apparues, de manière explicite, les premières inégalités dans divers problèmes traités par les Grecs de l’Antiquité. On y découvre la plus célèbre d’entre elles : l’inégalité triangulaire. Un tournant dans l’utilisation des inégalités a sans doute été leur introduction en analyse. Ainsi, les notions de limite ou de continuité font appel à des inégalités. On les croise en calcul différentiel et intégral. En particulier, certaines d’entre elles, dont les plus connues sont celles de Cauchy-Schwarz ou de Minkowski, ont facilité la création de nouveaux espaces, permettant de donner un cadre théorique à la physique. On les retrouve en probabilités, en chimie, en mécanique quantique ou...en sciences sociales pour décrire et analyser un monde d’inégalités. Les inégalités Le sommaire Dossier 1 : Pour mettre un peu d’ordre Pour pouvoir parler d’inégalités, il faut tout d’abord être capable de comparer : pour cela, il est nécessaire de définir ce que l’on entend par ordre. Sujets traités De l’ordre dans le désordre Résoudre des inéquations Une histoire de moyennes bien rangées Les différentes moyennes Moyennes sans mots La puissance des ensembles Et l’ordre fut établi Dossier 2 : Une origine géométrique Comparer des quantités est une activité des plus naturelles. Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu. Sujets traités Les richesses du triangle Le problème de Didon Une inégalité méconnue, celle de Ptolémée À peu près π Les domaines du plan La généralisation d’Hornich-Hlawka Dossier 3 : L’analyse pour démontrer Si l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations, de majorer ou de minorer. Sujets traités Un petit florilège Les inégalités de convexité L’inégalité de Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz et ses variantes Jusque dans les graphes ! Tchebychev et les suites monotones La symétrie, un outil efficace Dossier 4 : Un outil polyvalent Dans nombre de domaines scientifiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas, par exemple, en probabilités ou pour les processus relevant de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités. Sujets traités En probabilité, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Des résultats pour les nombres premiers La naissance de la thermodynamique Trier un tableau L’indétermination d’Heisenberg Les surprises de la mécanique quantique Dossier 5 : Un monde d’inégalités En sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’elles concernent la richesse, le travail, le logement, l’éducation, la consommation, le sport… Tous les domaines sont source d’inégalités. Sujets traités La mesure des inégalités sociales De Lorenz à Gini Inéquations pour un consommateur L’(in)égalité politique au crible des mathématiques Mesurer les écarts entre les sexes

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La présentation de Tangente Le nombre est l'un des objets mathématiques de base. On l'utilise tous les jours, dans de nombreux contextes. Mais de quels nombres parle-t-on ? Des entiers positifs, à l'origine servant à compter ? Des nombres négatifs, qui mesurent essentiellement les variations, et dont l'apparition est relativement récente?? Des nombres imaginaires, apparus au même moment, indispensables outils de l'ingénieur ? Et il y en a bien d'autres ! Cet ouvrage présente d'abord la formidable histoire des nombres, de l'apparition du zéro à celle des nombres transcendants, en passant par les différents systèmes de numération. Puis il chemine sur des sentiers plus ou moins classiques : le nombre p, les triplets pythagoriciens, les partages d'entiers, l'hypothèse du continu, les équations diophantiennes, ou les pépites dues au fameux mathématicien hongrois Paul Erdös. Pour terminer, il livre de vrais secrets, de certaines curiosités fascinantes aux applications les plus confidentielles de la théorie des nombres. Le sommaire L'apparition des nombres Les nombres dans tous leurs états Les visionnaires des nombres Calculs et curiosités

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Réalisé en association avec la Société française de statistique, ce recueil d’articles propose un échantillon de certains des défis auxquels fait face la recherche en statistique. La diversité de ses applications témoigne ainsi de son importance dans le monde actuel. En constante évolution, les méthodes statistiques sont à la base de techniques sophistiquées utilisées par l’intelligence artificielle, comme la classification automatique ou l’apprentissage profond. Ainsi, au-delà de la simple description du réel, la statistique peut aider, en modélisant une situation à l’aide de formules probabilistes adaptées, à prévoir ses évolutions plausibles dans le futur. Dans le domaine de la santé, les modèles prévisionnels rendent possible l’amélioration de la prise en charge des patients jusqu’à imaginer une médecine personnalisée. En sport, les analyses conduisent à doser la quantité d’entraînement qui optimise les performances individuelles, prévoir les issues des tournois ou anticiper sur les conduites de dopage Le somaire Dossier 1 : La statistique aujourd’hui La statistique n’est ni une science du passé ni une science de l’avenir : elle est bien ancrée dans le présent ! La diversité des applications de la statistique témoigne de sa vivacité et de son importance dans le monde actuel. Autre sujets traités Tester sans se tromper ChatGPT : une IA très mathématique La classification automatique Les modèles de mélange Vers une IA qui saurait dire « je ne sais pas » L'introduction des mesures multifractales en finance Le statactivisme, une arme pour tous Dossier 2 : Compter et récolter des données La statistique consiste tout d’abord à décrire de manière chiffrée et synthétique une situation donnée. Ainsi, le rôle premier du statisticien est de procéder à des dénombrements ou recensements Autre sujets traités La statistique littéraire de Jacques Peuchet La protection des données individuelles Le comptage des manifestants Recenser les écureuils et autres animaux sauvages Voter avec des notes Les excès de la corrélation La statistique bayésienne appliquée à la datation

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Présentation Il y a quatre cents ans naissait Blaise Pascal. Figure incontournable du xviie siècle, son nom reste fortement attaché au triangle arithmétique qu’il a exploré en détail, développant au passage de nouvelles façons de raisonner. On retrouve son empreinte dans de nombreux domaines des sciences, de ses jeunes prouesses renouvelant l’approche des coniques jusqu’à ses dernières lettres teintées de modernité en analyse. Ses interrogations sur les paris le mènent à la naissance des probabilités et ressurgissent dans ses réflexions sur la religion. En physique, il prône la démarche expérimentale pour trancher la question du vide et, à moins de 20 ans, il avait déjà conçu sa fameuse « pascaline », considérée comme la première machine à calculer. Plus tard, il participe à l’organisation des transports parisiens et à d’autres grands chantiers. Disparu à seulement 39 ans, Pascal s’inscrit dans bon nombre de débats de son époque, en science, en théologie ou en philosophie. La qualité de son écriture, son humour caustique et la solidité de son raisonnement font mouche et nous éblouissent encore. Un génie « né un siècle trop tôt » Quatre siècles plus tard, la justesse des écrits de Blaise Pascal résonne encore avec notre actualité. C’est d’abord son maniement de la langue française qui nous éblouit. Chateaubriand saluera dans une envolée des plus lyriques celui qui « donna le modèle de la plus parfaite plaisanterie comme du raisonnement le plus fort ». Dans ses écrits mathématiques, moins nombreux que d’autres savants mais d’une portée souvent novatrice, il nous irradie du bonheur de comprendre. « Né un siècle trop tôt » d’après Voltaire, on se prend à rêver de ce qu’aurait pu encore apporter à la science et aux mathématiques Blaise Pascal sans le tournant mystique de 1654… et si la mort ne l’avait pas fauché si jeune, à 39 ans à peine. Le sommaire : Dossier 1 : 1654, l’année du triangle Le nom de Blaise Pascal reste fortement attaché au triangle arithmétique qu’il a exploré en détail dans un traité de 1654. Il y développe au passage de nouvelles façons de raisonner en démontrant plusieurs propriétés par récurrence, un fait nouveau à l’époque. Autre sujets traités Un orfèvre du raisonnement par récurrence Les propriétés du triangle arithmétique À qui est ce binôme ? Un nouveau regard sur les nombres figurés Le très mal nommé « triangle de Pascal » L’art du partage équitable La correspondance entre Pascal et Fermat Dossier 2 : Des apports audacieux aux mathématiques Blaise Pascal voyait la géométrie comme le plus beau des métiers. Séduit par les classiques de la littérature mathématique que lui confi ait son père, il en fait son miel jusqu’à produire des résultats nouveaux. Autre sujets traités Un cadeau bien enrubanné Une addition pas si salée L’hexagramme mystique et autres merveilles géométriques Histoire de la roulette Entre le néant et l’infini L'égalité des lignes spirale et parabolique Dossier 3 : Un esprit curieux des sciences L’esprit agile de Pascal était tenu en ébullition par une curiosité insatiable. Son génie précoce s’exprime ainsi dans une étude des sons dont la bonne facture étonne pour son âge. Il n’hésite pas à « mettre la main à la pâte » pour concrétiser ses idées, comme dans la conception de sa machine à calculer. Autre sujets traités Écrire un Traité des sons à l’âge de 11 ans Les secrets de la Pascaline L’homme qui n’avait pas peur du vide Un savant aux vies multiples Abîmes pascaliens Une prétendue correspondance avec Newton Dossier 4 : Génie inscrit dans son siècle Pascal a connu une vie mondaine haletante. C’est aussi un entrepreneur averti qui sait repérer les idées novatrices. En sciences comme en philosophie, la qualité de son écriture et la solidité de son raisonnement font mouche. Autre sujets traités L’assèchement du Marais poitevin La rhétorique du clair-obscur Le triomphe du pragmatisme religieux Parier sur l’existence de Dieu Le pari de Pascal-Roubaud Pascal a-t-il inventé les transports publics ?

Description de l'éditeur Ce livre, conçu comme un clin d’œil à la revue Tangente, propose une exploration des différentes facettes de la notion de tangence que l’on retrouve dans tous les domaines des mathématiques et dans plusieurs applications parfois inattendues.

À l’origine, de nombreuses situations géométriques sont liées au cercle (Arbelos, cercles jumeaux d’Archimède, cercles de Pappus, de Malfatti, et même sangaku).

Les courbes et les droites prennent la relève grâce au lien avec la dérivée et l’extrapolation aux asymptotes.

La tangente reste aujourd’hui un outil universel puissant pour étudier les courbes et essayer de mettre à jour leurs
propriétés.

Par ailleurs, l’essor de l’analyse a donné un cadre à l’étude de certaines fonctions utilisées depuis longtemps.
C’est le cas en trigonométrie, en particulier avec la fonction tangente.

Le voyage se termine par l’usage de la notion de tangence dans de nombreux domaines, en particulier en physique, mais aussi… en économie

Description de l'éditeur
ÉLe jeu est l’une des activités humaines les plus pratiquées, par les enfants comme les adultes.
Quand il est partagé avec d’autres, on parle de jeu de société.

Depuis des siècles, il en existe des milliers, et de nouveaux voient le jour régulièrement, souvent liés à la culture des différents pays.

Une fois la règle définie, chacun essaie de faire au mieux pour gagner.
C’est là que la mathématique joue (c’est le cas de le dire !) un rôle fondamental, en faisant appel, selon le type de jeu, à plusieurs de ses branches.

Dans les jeux à deux où les positions des deux adversaires sont connues, comme les dames, les échecs, le go, mais aussi d’autres jeux plus simples, la théorie des graphes permet, en théorie, d’étudier toutes les situations (en pratique, elles sont souvent trop nombreuses).
Quand l’information est incomplète, parce qu’on ne connaît pas le jeu des adversaires ou parce qu’il faut tirer des cartes ou lancer des dés, les probabilités sont à l’œuvre.
Mais cela ne s’arrête pas là ! La géométrie, la combinatoire, l’arithmétique peuvent être convoquées.

Les dossiers

Les jeux à information complète
Information incomplète : le rôle des probabilités
Quand géométrie et combinatoire s’en mêlent
Des jeux dans toutes les cultures

Description de l'éditeur
Évariste Galois est à la fois l’un des mathématiciens les plus célèbres et l’un des plus mal connus. Ses travaux ont bouleversé l’approche des équations algébriques. C’est dans la marge de son dernier mémoire, écrit peu avant sa mort en duel à l’âge de 20 ans, qu’on trouve la célèbre formule « Je n’ai pas le temps ».
Ce qu’on appelle aujourd’hui « théorie de Galois » est l’aboutissement de recherches commencées seize ans après sa disparition, sur la base d’idées innovantes retrouvées dans ses papiers, qui ont contribué à des progrès spectaculaires des mathématiques.
Sa vie, quant à elle, comporte zones d’ombres et éléments romanesques qui ont suscité de nombreuses hypothèses et légendes. Galois fut un rebelle en désaccord avec l’institution : révolutionnaire, refusé à l’École polytechnique, renvoyé de l’École normale, incompris par l’Académie des sciences, emprisonné, provoqué en duel… Le dernier dossier de ce livre tente de reconstituer, avec les connaissances de l’époque, le cheminement de la pensée de Galois qui a abouti à son mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux.

Les dossiers

• Une trop courte vie
• Un jeune étudiant prometteur
• La résolution des équations algébriques
• Galois… par Galois

Description de l'éditeur

Sortie prévue début mai 2023 Frais de ports offerts jusqu'au 30 avril avec le code BIB81 Mesurer des longueurs est l'une des plus anciennes activités humaines. Cette tâche repose concrètement sur les mathématiques, en particulier sur de nombreux résultats de géométrie, si puissants qu’ils ont essaimé dans toutes les sciences : aujourd’hui, on peut tout mesurer... ou presque, et même de plusieurs manières ! La distance géographique peut être euclidienne ou sphérique, l’écart entre deux nombres peut se mesurer par leur différence ou leur « distance p-adique ». La notion de distance peut s’appliquer, de manière plus surprenante, aux écarts à la moyenne d'une série statistique, à la proximité linguistique entre les mots, à la façon de relier deux villes (avec de nombreuses unités comme les kilomètres avalés, les heures passées dans un véhicule, le coût en énergie...). Mais la notion formelle de distance, même si elle a mis des siècles à émerger, est aussi un concept intuitif et accessible, conduisant à de nombreuses énigmes visuelles, présentes dans ce livre. Les dossiers • Arpenter et mesurer • Au cœur de la géométrie • Des métriques variées • Des distances pour résoudre des problèmes

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Née au début du XIXe siècle dans la tête du jeune mathématicien génial Évariste Galois dans le cadre de la résolubilité d’une équation polynomiale, la notion de groupe a littéralement envahi tous les domaines des mathématiques. Même si le groupe est un concept algébrique, plusieurs situations de la géométrie en bénéficient. Nombre de problèmes actuels des mathématiques consistent en la détermination d’un groupe, l’étude de ses propriétés ou la recherche d’un isomorphisme entre plusieurs d’entre eux. Et cela dépasse même les mathématiques pour atteindre les autres sciences : la physique avec les particules fondamentales ou la mécanique quantique, la chimie avec l’étude des cristaux. D’autres champs de l’activité humaine, comme les sciences sociales, la littérature, les jeux (dont le Rubik’s Cube) ou les arts peuvent aussi s’appuyer dessus. Le célèbre Alexandre Grothendieck considérait que les deux plus grandes inventions mathématiques de tous les temps étaient le zéro et… le concept de groupe ! Les dossiers • La genèse d’un concept novateur • L’algèbre revisitée • Incontournables en géométrie • Des applications dans de multiples domaines

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Henri Poincaré a marqué son époque d’une empreinte scientifique forte qui a fait sa réputation de « savant universel ». Sa vision va au-delà des cloisonnements entre mathématiques et physique. C’est en s’intéressant aux courbes définies par des équations différentielles qu’il examine d’un œil novateur le vieux problème de la stabilité du système solaire et donne naissance aux systèmes dynamiques. Plus généralement, il revisite à sa manière chacun des domaines mathématiques qu’il choisit d’investiguer. En physique, il joue un rôle déterminant dans l’étude de la vitesse de la lumière, la théorie électromagnétique de Maxwell ou la mise en évidence du mouvement de la Terre. Avec Lorentz, il met au point le formalisme de la relativité restreinte, qu’Einstein développera. Il s’est aussi engagé dans son époque, en contribuant à la diffusion des sciences auprès d’un large public, mais aussi en combattant sur tous les fronts pour faire valoir les lumières du savoir. Ainsi, dans l’affaire Dreyfus, son travail a été déterminant pour démonter les thèses de l’accusation. Les dossiers Poincaré et son époque À la croisée des sciences Impulser une vision des mathématiques Le savant universel Philosophe engagé et inspirateur

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La complicité de ces deux outils géométriques élémentaires que sont la règle non graduée et le compas a toujours été fructueuse, depuis l’Antiquité jusqu’à l’infographie moderne en passant par les pratiques des bâtisseurs du Moyen Âge. En compagnie de ces deux instruments, amateurs d’art et amoureux de géométrie seront séduits par ces tracés délicats que crée sur une feuille de papier le crayon guidé par la règle et le compas. Ils pourront revivre la longue et passionnante épopée de la trisection de l’angle, découvrir des quadratures du cercle approchées, s’émerveiller devant l’ingéniosité des Anciens aux prises avec la duplication du cube. Car ce numéro évoque aussi certaines impasses. Mais, même quand elles n’ont pas été couronnées de succès, les tentatives de constructions ont conduit à de nouvelles pratiques : tracés de courbes point par point, utilisation d’astucieux instruments, pliages de papier inventifs, subterfuges graphiques… Les dossiers Deux instruments dans l’histoire Méthodes et constructions Pratiques d’hier et d’aujourd’hui Au-delà de la règle et du compas

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Nous vivons depuis toujours dans un monde d’images, réelles ou imaginées, qui alimentent notre vécu. Mais jamais les images virtuelles n’ont été aussi présentes dans notre environnement. Elles circulent sur la Toile, elles envahissent notre quotidien, du jeu vidéo à l’imagerie médicale. Cette révolution de l’image numérique a été permise grâce aux avancées technologiques, qui donnent la possibilité de manipuler les contenus numérisés en s’appuyant sur de puissants algorithmes derrière lesquels se trouvent essentiellement… des mathématiques : les transformations chères à l’analyse (Fourier, Laplace, Radon…), les structures algébriques (matrices et quaternions), la géométrie, le codage de l’information. De nouveaux horizons se sont ouverts, conduisant aux hologrammes, à la réalité augmentée, à la biométrie, à l’impression 3D. L’imagerie mathématique a même bouleversé l’art en créant de nouveaux courants d’« art numérique » ! Les dossiers L’univers de nos écrans couleurs L’imagerie médicale Représenter le volume De la technologie à l’art

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On le sait depuis l’Antiquité : répéter mécaniquement un processus permet de trouver des solutions, exactes ou approchées, à de nombreux problèmes. Plus généralement, les suites jouent un rôle important dans les mathématiques. Le raisonnement par récurrence s’appuie sur elles pour démontrer des propriétés souvent fondamentales. Avec l’avènement de l’informatique, de nouvelles voies se sont ouvertes. L’écriture de programmes récursifs, s’appelant eux-mêmes, va utiliser les processus itératifs pour résoudre de manière approchée des équations, donner des valeurs numériques à d’insaisissables constantes ou générer des fractales. Les artistes s’en sont d’ailleurs emparés pour produire des œuvres, qu’elles soient graphiques, littéraires ou musicales,reposant… sur les mathématiques. Les dossiers Processus itératifs Récurrence Récursivité Des utilisations dans l’art

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176 pages Apparue lors de la seconde guerre mondiale dans un contexte militaire qui lui a donné son nom, la RO (recherche opérationnelle), à la croisée des mathématiques, de l'informatique et de l'économie, s'est étendue à tous les domaines de la société. Entreprises, collectivités territoriales, administrations, établissements scolaires, hôpitaux et même individus doivent chaque jour résoudre des problèmes d'organisation. Les outils de modélisation mathématique permettent de décrire un contexte avant de mettre en œuvre des méthodes de résolution dédiées. Ainsi, la théorie des graphes aidera à mieux organiser des tournées, et donc réaliser des économies substantielles de temps et de carburant. L'algorithmique servira à améliorer une chaîne de production. L'optimisation s'invitera pour la fabrication ou la commande de fournitures. Les mathématiques de la décision seront, quant à elles, utiles lors d'un choix collectif.

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Entre algèbre et géométrie Depuis leur histoire ancienne, les courbes ont fait l?objet de recherches permanentes, entre algèbre et géométrie. Leurs modes de construction ont passionné de nombreux mathématiciens. D'abord planes, elles ont vite rejoint la dimension 3, mise en évidence par la physique et l'astronomie. Car une courbe, c'est aussi la trajectoire d'un point, dans le plan comme dans l'espace. Aujourd?hui, elles sont omniprésentes : dans les statistiques, les circuits routiers, l'architecture, l'art? Grâce à l'informatique, une nouvelle branche est née, la CAO (conception assistée par ordinateur).

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Les formations mathématiques font partie des plus demandées par le monde professionnel. On le savait pour la finance, l?économie ou l?informatique, mais la compétence mathématique est au cœur de la demande de nombreux autres secteurs industriels. De nouveaux concepts théoriques se créent pour répondre à ces besoins, mobilisés par des domaines variés. Les entreprises, plongées dans un environnement qui évolue régulièrement, sollicitent de plus en plus les mathématiques et recrutent des ingénieurs comme des diplômés de l?université. Mais la nouveauté, c?est que les formations de mathématiciens et d?ingénieurs sont aussi de plus en plus demandées dans les PME et les startups, qui constatent que les maths sont un incontournable vecteur d?innovation.

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La construction progressive de l'analyse, en particulier la dérivation, a joué un rôle essentiel dans le développement de la théorie des extrema. Mais, parallèlement au calculus, d'autres voies se sont ouvertes pour offrir de nouveaux paradigmes et étendre le champ des résultats théoriques et celui des applications. La géométrie a aussi été mise à contribution, utilisant entre autres les outils du calcul différentiel ou les techniques de la combinatoire. La recherche de solutions explicites passe souvent par la construction d'algorithmes. Lorsque ce n'est pas possible, le recours à des méthodes heuristiques approchant les résultats est parfois nécessaire. Les applications des méthodes d'optimisation sont nombreuses, de la notion de plus court chemin à des domaines comme l'économie ou même la psychologie.

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Relativité générale, mécanique quantique sous l'angle des mathématiques Les grandes théories physiques ont été imaginées abstraitement avant d’être (ou non) validées, parfois longtemps après, par des observations. Des scientifiques audacieux ont su adosser, au début du XXe siècle, une partie de la physique à des concepts mathématiques. L’arrivée des théories relativistes imaginées par Albert Einstein a bouleversé notre compréhension de l’univers, détrônant l’approche newtonienne. Les équations du nouveau modèle réservent leur lot de surprises mathématiques. La gravitation devient une manifestation de la géométrie, les espaces non euclidiens s’imposent, les tenseurs ouvrent de nouveaux formalismes, les distributions permettent de généraliser le concept de fonction. Les physiciens disposaient ainsi d’une grande théorie universelle qui allait leur permettre d’explorer méthodiquement l’univers. L’infiniment grand, peut-être ! Mais le monde subatomique refusait encore de se soumettre. Les mathématiques ont été convoquées afin de formaliser les phénomènes contre-intuitifs qui ont cours en physique quantique.

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Des objets mathématiques omniprésents dans notre quotidien Pour définir précisément les surfaces, la géométrie a été mise à contribution dès l'Antiquité. Sont ensuite venues l'algèbre, l'analyse et la topologie. Chaque approche a permis d'enrichir le catalogue des surfaces remarquables et d'en imaginer d'autres, plus élégantes ou plus… extravagantes. Le ruban de Möbius, qui ne possède qu'un seul « côté », défie notre intuition, tout comme les fractales « lisses » qui permettent des opérations « choquantes », comme celle qui consiste à déformer une sphère de la taille de la Terre en une balle de ping pong sans changer les distances... Les surfaces ont aussi fait rêver les architectes, de Gustave Eiffel à Vladimir Choukhov. Quant aux artistes, concepteurs ou plasticiens, ils les ont détournées selon leur inspiration, du tricot à l'infographie, des bulles de savon à l'assemblage mécanique…

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Dans l’histoire du développement de la pensée scientifique, les mathématiques ont été sollicitées depuis l’Antiquité pour expliquer la physique. À l’inverse, cette interaction a engendré d’importants progrès dans le développement des mathématiques. Quelques siècles plus tard, sous l’impulsion de Joseph Fourier, est née la physique théorique, qui place les équations au cœur de la démarche du physicien. Les puissantes théories mathématiques qui voient alors le jour n’ont pas encore livré tous leurs secrets. Le rapport entre les deux disciplines évolue de manière forte. Après la méthode synthétique de Newton, la méthode analytique de Lagrange exploite la puissance du calcul intégral et donne naissance à la théorie des équations différentielles. Le sommaire • Deux disciplines longtemps inséparables • La naissance de la physique théorique • Une évolution de la pensée scientifique • Un autre regard

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Des voitures autonomes à la traduction automatique, des stratégies de jeux de société à la gestion de ressources, l'IA s'immisce partout dans nos vies. Les mathématiques contribuent de manière significative à cette révolution, avec notamment les réseaux de neurones artificiels, massivement utilisés dans de nombreuses applications. Cet ouvrage, auquel ont collaboré des spécialistes reconnus, donne les clés permettant de comprendre cette évolution fondamentale dans la façon même d'envisager le travail de l'ordinateur. Il en précise les enjeux intellectuels, industriels, mais aussi éthiques. Le sommaire : • Les réseaux de neurones • Bonne intelligence au quotidien • Joueurs artificiels • L’IA pour comprendre • Éthique et prospective

Description de l'éditeur Le développement durable est un thème d’'actualité autour duquel circulent de nombreuses informations.
Parmi elles, il faut savoir distinguer les faits avérés, essentiellement liés à des observations passées, les projections vers l’avenir, qui s’appuient sur des modèles mathématiques, mais ne convergent pas toujours, et les affirmations erronées qui sont une constante quand un dogme est en jeu.
Cet ouvrage s’efforce de dresser un panorama objectif des outils mathématiques utilisés dans la modélisation du climat, dans l’analyse des sources d’énergie ou dans les prévisions d’évolution des populations.
Il étudie les solutions proposées, qui ne sont pas si simples, voire parfois même déroutantes.
En effet, de multiples paradoxes émergent lorsque l’on creuse certains sujets, comme celui des transports. Car toutes les questions posées par le développement durable sont interconnectées et une solution à l’un des problèmes peut avoir des répercussions pas forcément très heureuses sur d’autres domaines.

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La présentation de Tangente Philosophie et mathématiques sont nées simultanément du regard que l'homme porte sur le monde qui l'entoure. Infini, hasard et déterminisme, logique et paradoxes sont des sujets communs aux deux disciplines qui ont toujours fasciné, et n'ont pas encore livré tous leurs secrets. Pendant toute une époque, ce sont les mêmes savants qui étaient philosophes et mathématiciens. En s'interrogeant sur la nature du savoir mathématique (les nombres existent-ils ? peut-on compter l'infini ? qu'est-ce qu'un point dans le plan ?), des penseurs et des savants comme Platon, Aristote, Pascal, Descartes, Leibniz, Poincaré ont fait avancer la réflexion. Ces interrogations ont conduit à l'émergence de théories sur les concepts concernés mais aussi sur le langage et son efficacité, l'interaction sémantique / syntaxe ou encore le rôle de l'intuition. Elles ont aussi été à l'origine de croyances comme celle de l'existence d'entités inaccessibles. Les enjeux de ces questionnements, de ces échanges, de ces controverses sont mis ici à la portée de tous, sans occulter les difficultés suscitées par les notions présentées. Le sommaire Maths et philo : regards croisés La logique Querelles philosophiques Les grandes notions