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Le sommaire Dossier 1 : π , le roi des nombres C’est sans doute la plus fameuse constante de toutes les mathématiques après le 0 ou le 1. Le nombre π, dont l’histoire est plusieurs fois millénaire et continue de s’écrire de nos jours, exerce une fascination manifeste Sujets traités C’est toute une histoire Il est partout ! Un nombre qui dépasse la raison La quête infinie des décimales Le nombre π, tout un poème Quadrature du cercle : de nouveaux progrès ! π-thèque Dossier 2 : Les amis transcendants L’irruption de la notion d’irrationalité, avec l’impossibilité, pour certains nombres de s’écrire comme un quotient d’entiers, a été un temps fort des mathématiques. Quand ils ne sont pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers, ils sont nommés transcendants. Sujets traités Vous avez dit « transcendant » ? En route vers la transcendance Les nombres de Liouville Au cœur des nombres transcendants Histoire d’e Le nombre de Dottie ou les secrets du cosinus En être, ou pas... Dossier 3 : La famille des algébriques Dans l'univers des nombres réels, on est transcendant ou algébrique. C'est le cas, par exemple, de tous les nombres constructibles à la règle et au compas. Une spécificité de l'ensemble des nombres algébriques est de posséder une structure de corps. Sujets traités De nouveaux nombres avec Richard Dedekind Le problème des radicaux Les premiers irrationnels De quelle matière les nombres sont-ils faits ? L’esprit de corps quadratique Quand l’algèbre rencontre la géométrie Dossier 4 : Curiosités irrationnelles Des quantités non fractionnaires, comme π ou √2, ont amené à s’interroger sur le concept de nombre. C’est sans doute grâce à la notation décimale que la notion de nombre irrationnel a pu être mieux comprise. Mais de là à démontrer qu’un nombre précis en est un, il y a un grand pas ! Sujets traités Des nombres ou non ? Écrire les réels Des irrationnels dans la cour sinus et cosinus : rationnels ou non ? Développement décimal du sonnet Philippe Leblanc, un artiste qui joue avec les nombres Dossier 5 : Des nombres venus d’ailleurs Tout réel pouvant être associé à un développement décimal, de nombreuses questions se posent sur ces décimales. De nouvelles familles de nombres ont été définies à partir de là, comme les nombres normaux ou les nombres univers. Sujets traités Tout est normal... ou presque ! À la recherche de l’univers Omega et les réels calculables Vertigineux nombres surréels Les périodes : de nouveaux nombres

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Le sommaire Dossier 1 : Fractions à l'ancienne Pour parler de fractions, on commence souvent par évoquer l’idée de partage équitable. Pourtant, cette approche ne rend pas justice à la richesse des usages que l’on peut en faire. Sujets traités L’affaire des chameaux Géopolitique des fractions en Chine La règle de trois, la plus belle de toutes les règles ? La proportionnalité : si cruciale, si difficile À la mode de Descartes À l’égyptienne Face aux développements décimaux Fractions et musique: quand 3/4 n'est pas équivalent à 6/8 Dossier 2 : Morceaux choisis Si l’importance de fractions telles que 1/2 ou 365 + 1/4 est facile à saisir, on s’attend moins à voir surgir -1/12 au cœur de la théorie des nombres, ou à découvrir tant de merveilleuses propriétés associées au développement décimal de 1/7. Sujets traités 256/81, le nombre π de l’ancienne Égypte Ce que 1/7 a à dire à la base dix 365 + 1/4 et des poussières L’étonnante présence de -1/12 La quête de 1/137 Des fractions dans la mesure du cercle Dossier 3 : Le règne du périodique Ce n’est que si les temps de retour des planètes à leurs positions initiales sont dans des rapports rationnels que le cosmos reviendra dans son état initial. De la traque des exoplanètes aux billards, le royaume des fractions est celui de l’éternel retour. Sujets traités La Grande année face à l’incommensurabilité Pavages du plan et fractions Le ballet des planètes Les résonances planétaires Les billards rationnels Engrenages Dossier 4 : Des fractions pour observer La valeur 1/3, dont l’expression décimale n’a pas de fin (0,333...), offre un exemple simple de la supériorité de la notation fractionnaire sur la notation décimale. Le développement décimal n’a toutefois pas dit son dernier mot. Sujets traités Les molécules révèlent leurs rapports L’échec des fractions Héron : l’irrationnel vu par les fractions À l’infini sans se presser Les fractions ont l’esprit de corps L’analyse fractionnaire Dossier 5 : Quand les fractions continuent Fondamentalement cantonnées à l’ensemble des nombres rationnels, les fractions parviennent pourtant à s’en échapper lorsqu’on les laisse poursuivre à l’infini. Il existe de multiples façons de faire Sujets traités Sommes sans fin Des dénominateurs à l’infini Séries égyptiennes Les séries de Engel Fractions de fractions sans frein Généalogie des fractions

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Réalisé en association avec la Société française de statistique, ce recueil d’articles propose un échantillon de certains des défis auxquels fait face la recherche en statistique. La diversité de ses applications témoigne ainsi de son importance dans le monde actuel. En constante évolution, les méthodes statistiques sont à la base de techniques sophistiquées utilisées par l’intelligence artificielle, comme la classification automatique ou l’apprentissage profond. Ainsi, au-delà de la simple description du réel, la statistique peut aider, en modélisant une situation à l’aide de formules probabilistes adaptées, à prévoir ses évolutions plausibles dans le futur. Dans le domaine de la santé, les modèles prévisionnels rendent possible l’amélioration de la prise en charge des patients jusqu’à imaginer une médecine personnalisée. En sport, les analyses conduisent à doser la quantité d’entraînement qui optimise les performances individuelles, prévoir les issues des tournois ou anticiper sur les conduites de dopage Le somaire Dossier 1 : La statistique aujourd’hui La statistique n’est ni une science du passé ni une science de l’avenir : elle est bien ancrée dans le présent ! La diversité des applications de la statistique témoigne de sa vivacité et de son importance dans le monde actuel. Autre sujets traités Tester sans se tromper ChatGPT : une IA très mathématique La classification automatique Les modèles de mélange Vers une IA qui saurait dire « je ne sais pas » L'introduction des mesures multifractales en finance Le statactivisme, une arme pour tous Dossier 2 : Compter et récolter des données La statistique consiste tout d’abord à décrire de manière chiffrée et synthétique une situation donnée. Ainsi, le rôle premier du statisticien est de procéder à des dénombrements ou recensements Autre sujets traités La statistique littéraire de Jacques Peuchet La protection des données individuelles Le comptage des manifestants Recenser les écureuils et autres animaux sauvages Voter avec des notes Les excès de la corrélation La statistique bayésienne appliquée à la datation

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Les scientifiques et les étudiants du monde entier connaissent des notions qui portent son nom : le laplacien, la loi de Laplace-Gauss, la transformée de Laplace, les matrices de Laplace et bien d’autres. Pourtant, Pierre-Simon Laplace reste mal connu et est loin d’être reconnu à sa juste valeur.
Souvent décrié pour avoir été à la solde des régimes successifs, de l’Ancien Régime à la Restauration, sa personnalité est en réalité plus complexe et plus profonde.
Quant à ses travaux, ils sont d’une impressionnante variété : probabilités, calcul différentiel, algèbre, mécanique céleste, physique, mais aussi philosophie des sciences et mathématique sociale. Sa préoccupation première était de comprendre le monde et ses lois physiques.
Membre actif de l’Académie des sciences, servi par son excellente plume, il est l’un des rares mathématiciens à être entré à l’Académie française.
Dans cet ouvrage, vous découvrirez ainsi les multiples facettes de celui qui est parfois surnommé « le Newton français

Le sommaire

Dossier 1 : Un savant incontournable

Nourrissant rapidement de hautes aspirations, Laplace s’imposa un rythme de travail impressionnant en lien avec de nombreux domaines. Sa vie révèle un homme bien plus complexe et profond que l’image que l’on en a souvent.

Sujets traités

L’homme de toutes les époques
Un géant passé à la postérité
Du cercle de l’Arsenal à la Société d’Arcueil
Le protecteur de la jeunesse
Dieu, une hypothèse non nécessaire ?
Les multiples fonctions de Laplace
Les prémices de l’algèbre linéaire

Dossier 2 : L’engagement politique

Laplace a vécu tour à tour sous l’Ancien Régime, la Révolution, l’Empire et la Restauration et s’est impliqué en politique dans la perspective d’une forme d’intérêt scientifique supérieur aux aléas des gouvernements successifs.
Sujets traités

Le mal-aimé des historiens
Un rôle dans la déchéance de Napoléon
Un intérêt pédagogique pour
la transmission des savoirs
Un savant qui tient à vulgariser
L’éphémère calendrier républicain

Dossier 3 : La mécanique céleste

À force de travaux, Laplace découvre des phénomènes méconnus : les forces dites de Coriolis, la dynamique des marées, les résonances gravitationnelles... Le touche-à-tout normand avait même prédit l’existence des trous noirs !

Sujets traités

L’empire des résonances
Un regard novateur sur les équations différentielles
De l’équation de Laplace au laplacien
L’intuition géniale de l’existence des trous noirs
Le flux et le reflux de la mer
Mary Somerville et la Mécanique céleste

Dossier 4 : Les probabilités en pratique

Bien que convaincu du fonctionnement déterministe de l’Univers, Laplace a notablement contribué au développement du calcul des probabilités, le faisant entrer dans le champ des mathématiques.

Sujets traités

Le philosophe du hasard
Les probabilités et leur métaphysique
D’Alembert et « pile ou face ».
Une querelle historique
Recensement et loi normale
La première loi des grands nombres
Le Soleil se lèvera-t-il demain ?
Les trois lois des erreurs de Laplace
Mathématiques dans le prétoire
De la probabilité des témoignages au pari de Pascal

Dossier 5 : Vers la physique théorique

Muni des avancées du calcul différentiel, certaines étant l’oeuvre de Laplace lui-même, le savant déploie toute sa puissance démonstrative pour retrouver des lois déjà connues, mais aussi pour en établir de nouvelles.

Sujets traités

Laplace et Lavoisier, des relations complexes
De la thermodynamique à la vitesse du son
L’étude de la capillarité
L’optique au service de l’astronomie

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Des voitures autonomes à la traduction automatique, des stratégies de jeux de société à la gestion de ressources, l'IA s'immisce partout dans nos vies. Les mathématiques contribuent de manière significative à cette révolution, avec notamment les réseaux de neurones artificiels, massivement utilisés dans de nombreuses applications. Cet ouvrage, auquel ont collaboré des spécialistes reconnus, donne les clés permettant de comprendre cette évolution fondamentale dans la façon même d'envisager le travail de l'ordinateur. Il en précise les enjeux intellectuels, industriels, mais aussi éthiques. Le sommaire : • Les réseaux de neurones • Bonne intelligence au quotidien • Joueurs artificiels • L’IA pour comprendre • Éthique et prospective

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Trier, comparer, ordonner sont des activités courantes depuis la nuit des temps qui se sont formalisées et perfectionnées en intégrant le domaine des mathématiques sous forme d’inéquations ou de relations d’ordre. C’est en géométrie que sont apparues, de manière explicite, les premières inégalités dans divers problèmes traités par les Grecs de l’Antiquité. On y découvre la plus célèbre d’entre elles : l’inégalité triangulaire. Un tournant dans l’utilisation des inégalités a sans doute été leur introduction en analyse. Ainsi, les notions de limite ou de continuité font appel à des inégalités. On les croise en calcul différentiel et intégral. En particulier, certaines d’entre elles, dont les plus connues sont celles de Cauchy-Schwarz ou de Minkowski, ont facilité la création de nouveaux espaces, permettant de donner un cadre théorique à la physique. On les retrouve en probabilités, en chimie, en mécanique quantique ou...en sciences sociales pour décrire et analyser un monde d’inégalités. Les inégalités Le sommaire Dossier 1 : Pour mettre un peu d’ordre Pour pouvoir parler d’inégalités, il faut tout d’abord être capable de comparer : pour cela, il est nécessaire de définir ce que l’on entend par ordre. Sujets traités De l’ordre dans le désordre Résoudre des inéquations Une histoire de moyennes bien rangées Les différentes moyennes Moyennes sans mots La puissance des ensembles Et l’ordre fut établi Dossier 2 : Une origine géométrique Comparer des quantités est une activité des plus naturelles. Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu. Sujets traités Les richesses du triangle Le problème de Didon Une inégalité méconnue, celle de Ptolémée À peu près π Les domaines du plan La généralisation d’Hornich-Hlawka Dossier 3 : L’analyse pour démontrer Si l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations, de majorer ou de minorer. Sujets traités Un petit florilège Les inégalités de convexité L’inégalité de Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz et ses variantes Jusque dans les graphes ! Tchebychev et les suites monotones La symétrie, un outil efficace Dossier 4 : Un outil polyvalent Dans nombre de domaines scientifiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas, par exemple, en probabilités ou pour les processus relevant de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités. Sujets traités En probabilité, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Des résultats pour les nombres premiers La naissance de la thermodynamique Trier un tableau L’indétermination d’Heisenberg Les surprises de la mécanique quantique Dossier 5 : Un monde d’inégalités En sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’elles concernent la richesse, le travail, le logement, l’éducation, la consommation, le sport… Tous les domaines sont source d’inégalités. Sujets traités La mesure des inégalités sociales De Lorenz à Gini Inéquations pour un consommateur L’(in)égalité politique au crible des mathématiques Mesurer les écarts entre les sexes

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SOMMAIRE Invariants et lois mathématiques / Des invariants pour jouer / Les invariants en linguistique / Bienvenue au pays des invariants empiriques / La loi des levées totales au bridge / Les invariants comme outils de preuve Dossier 1 : Les invariants en arithmétique L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Pourtant, il permet déjà de résoudre une multitude de problèmes et de comprendre bon nombre de casse-tête. La parité permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin ne peut être résolu. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences ou la signature des permutations sont utilisés, par exemple pour confectionner des codes correcteurs d'erreurs. Parité et congruences / Les effets magiques des invariants / Le Taquin et le nombre d'inversions / Signature d'une permutation / Compter les drapeaux et les colliers / "Ce qui ne varie pas" / Des invariants pour décrypter / Les codes correcteurs d'erreurs / Bibliographie / Problèmes / Solutions Dossier 2 : Les invariants en géométrie Comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles? La réponse fournie par Felix Klein repose tout entière sur la notion d'invariant. Depuis, les invariants sont omniprésents: la recherche de points fixes, de propriétés ou de lieux fait généralement intervenir un invariant géométrique. Transport de propriétés par les transformations géométriques / Invariance globale, invariance point par point / Résoudre le Rubik's Cube / Invariance en géométrie / L'invariant de Dehn / Le birapport / Invariance par dualité / D'où la photo a-t-elle été prise? / La caractéristique d'Euler-Poincaré / Les polyèdres de Platon sont-ils des invariants? / Les invariants et le programme d'Erlangen Dossier 3 : Les invariants en analyse et en typologie L'introduction par Henri Poincaré de nouveaux inva¬riants en topologie à la fin du XIXe siècle constitue un progrès scientifique majeur. Quelques années plus tard, Emmy Noether explique comment les lois de la physique découlent de la recherche d'invariants mathématiques. théorèmes de point fixe / Les suites récurrentes et le point fixe / La méthode de la descente infinie de Fermat / Un déterminant discriminant / Les règles d'intégration de Bioche / Les invariants topologiques / Invariants en théorie des noeuds / Emmy Noether et les invariants en physique / Les invariants de classe, au service de la qualité logicielle Et toujours en bref - notes de lecture

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Présentation Il y a quatre cents ans naissait Blaise Pascal. Figure incontournable du xviie siècle, son nom reste fortement attaché au triangle arithmétique qu’il a exploré en détail, développant au passage de nouvelles façons de raisonner. On retrouve son empreinte dans de nombreux domaines des sciences, de ses jeunes prouesses renouvelant l’approche des coniques jusqu’à ses dernières lettres teintées de modernité en analyse. Ses interrogations sur les paris le mènent à la naissance des probabilités et ressurgissent dans ses réflexions sur la religion. En physique, il prône la démarche expérimentale pour trancher la question du vide et, à moins de 20 ans, il avait déjà conçu sa fameuse « pascaline », considérée comme la première machine à calculer. Plus tard, il participe à l’organisation des transports parisiens et à d’autres grands chantiers. Disparu à seulement 39 ans, Pascal s’inscrit dans bon nombre de débats de son époque, en science, en théologie ou en philosophie. La qualité de son écriture, son humour caustique et la solidité de son raisonnement font mouche et nous éblouissent encore. Un génie « né un siècle trop tôt » Quatre siècles plus tard, la justesse des écrits de Blaise Pascal résonne encore avec notre actualité. C’est d’abord son maniement de la langue française qui nous éblouit. Chateaubriand saluera dans une envolée des plus lyriques celui qui « donna le modèle de la plus parfaite plaisanterie comme du raisonnement le plus fort ». Dans ses écrits mathématiques, moins nombreux que d’autres savants mais d’une portée souvent novatrice, il nous irradie du bonheur de comprendre. « Né un siècle trop tôt » d’après Voltaire, on se prend à rêver de ce qu’aurait pu encore apporter à la science et aux mathématiques Blaise Pascal sans le tournant mystique de 1654… et si la mort ne l’avait pas fauché si jeune, à 39 ans à peine. Le sommaire : Dossier 1 : 1654, l’année du triangle Le nom de Blaise Pascal reste fortement attaché au triangle arithmétique qu’il a exploré en détail dans un traité de 1654. Il y développe au passage de nouvelles façons de raisonner en démontrant plusieurs propriétés par récurrence, un fait nouveau à l’époque. Autre sujets traités Un orfèvre du raisonnement par récurrence Les propriétés du triangle arithmétique À qui est ce binôme ? Un nouveau regard sur les nombres figurés Le très mal nommé « triangle de Pascal » L’art du partage équitable La correspondance entre Pascal et Fermat Dossier 2 : Des apports audacieux aux mathématiques Blaise Pascal voyait la géométrie comme le plus beau des métiers. Séduit par les classiques de la littérature mathématique que lui confi ait son père, il en fait son miel jusqu’à produire des résultats nouveaux. Autre sujets traités Un cadeau bien enrubanné Une addition pas si salée L’hexagramme mystique et autres merveilles géométriques Histoire de la roulette Entre le néant et l’infini L'égalité des lignes spirale et parabolique Dossier 3 : Un esprit curieux des sciences L’esprit agile de Pascal était tenu en ébullition par une curiosité insatiable. Son génie précoce s’exprime ainsi dans une étude des sons dont la bonne facture étonne pour son âge. Il n’hésite pas à « mettre la main à la pâte » pour concrétiser ses idées, comme dans la conception de sa machine à calculer. Autre sujets traités Écrire un Traité des sons à l’âge de 11 ans Les secrets de la Pascaline L’homme qui n’avait pas peur du vide Un savant aux vies multiples Abîmes pascaliens Une prétendue correspondance avec Newton Dossier 4 : Génie inscrit dans son siècle Pascal a connu une vie mondaine haletante. C’est aussi un entrepreneur averti qui sait repérer les idées novatrices. En sciences comme en philosophie, la qualité de son écriture et la solidité de son raisonnement font mouche. Autre sujets traités L’assèchement du Marais poitevin La rhétorique du clair-obscur Le triomphe du pragmatisme religieux Parier sur l’existence de Dieu Le pari de Pascal-Roubaud Pascal a-t-il inventé les transports publics ?

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SOMMAIRE Aux origines de l'intégrale / Newton vs Leibniz / L'accueil mouvementé du calcul intégral / De Cauchy à Lebesgue / Le surplus du consommateur / L'intégration en physique / L'Able intégrale Dossier 1 : L''intégrale de Riemann L''intégrale, outil analytique par excellence, répond à l''origine à un besoin de nature géométrique: calculer l''aire délimitée par des courbes du plan. Aire et intégrale / La quadrature de la cycloïde / La construction de l'intégrale de Cauchy / Les sommes de Darboux et de Riemann / L'intégrale de Riemann / L'intégrale pour mesurer des grandeurs / Les formules de la moyenne Dossier 2 : Les bases du calcul intégral Une fois l''intégrale définie et son usage délimité, se pose la question de son calcul. Si certaines méthodes n''exigent qu''un minimum de technique, la plupart des intégrales nécessitent un calcul qui passe par la détermination de primitives de la fonction à intégrer. De la primitive à l'intégrale / L'intégration par parties / La technique du changement de variable / Les règles de Bioche / Les méthodes de quadrature /Les méthodes de quadrature / Calcul approché d'intégrales / Les méthodes de Monte-Carlo / Les théorèmes de Guldin / L'élégance de l'intégration terme à terme / La formule de Wallis Dossier 3 : Extensions de la notion d''intégrale L''histoire de l''intégrale ne s''arrête pas avec Riemann, ni même avec Lebesgue! Sa construction non plus. De nombreux mathématiciens ont cherché à étendre la notion d''intégrale à des classes de fonctions de plus en plus générales, pour simplifier la présentation ou pour les besoins d''une application. Les intégrales multiples/ L'intégrale de Stieltjes / Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue / Y a t-il une intégrale après Lebesgue? / Le passage difficile de l'intégrale de Riemann à l'intégrale stochastique / Dérivées et intégrales dans le monde des 0 et des 1 / Intégration dans le plan complexe : le théorème des résidus / La puissance de l'intégration fractionnaire / Les intégrales de Coxeter Dossier 4 : L''intégrale en analyse L''intégrale est omniprésente en mathématiques et dans les applications. Elle intervient aussi bien en physique qu''en théorie du signal ou en tomographie, et dans pratiquement tous les domaines de l''ingénierie et de la finance. Convergence d'intégrales impropres / Intégrales de Fresnel, intégrale de Poisson / Suites et fonctions définies par une intégrale / Calcul de pi / Les intégrales eulériennes / La transformée de Laplace / Série et transformée de Fourier / Les atouts de la comparaison entre série et intégrale / Intégrales de bases / Le produit de convolution Et toujours En bref - problèmes - solutions

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VOIR LE SOMMAIRE DÉTAILLÉ Dossier 1 : D'où viennent les complexes ? Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés par les mathématiciens. Ce fut également le cas des nombres complexes. À l'origine de leur -tardive -introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations algébriques, en particulier celles du deuxième degré dans le cas le plus général. C'est donc d'un besoin bien réel qu'a émergé cette idée folle d'introduire un nouveau concept, celui de nombre « imaginaire », dont le carré serait -1, un nombre strictement négatif... qui a donné naissance à la notion de complexe ! Dossier 2 : Approche algébrique L'introduction des nombres complexes fut un acte d'une audace intellectuelle et d'une hardiesse inouïes. Elle a débouché sur un concept puissant, la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire d'ensemble muni de deux opérations dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mais les complexes ne peuvent pas tout ! Même pour les polynômes à coefficients réels, certaines conjectures, pourtant élémentaires à énoncer, restent aujourd'hui hors d'atteinte... Dossier 3 : Représentations géométriques À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. Dans la mesure où un nombre complexe peut être identifié à un point du plan, une puissante relation entre algèbre et géométrie a vu le jour. Cette représentation permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace... Homothéties, similitudes, inversions et autres homographies reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple ; elles deviennent aisément manipulables. Grâce à l'outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur. Un logiciel de géométrie dynamique devient alors un outil fantastique pour de telles explorations. Dossier 4 : Analyse et trigonométrie Les nombres complexes ont permis une extraordinaire correspondance entre des domaines des mathématiques qui paraissaient lointains : algèbre et géométrie, on l'a vu, mais aussi analyse et trigonométrie, qui s'en sont trouvées totalement bouleversées. En autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore aux accents grecs (gamma, zêta...) dont personne n'aurait pu imaginer la richesse. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! La fonction zêta fait maintenant miroiter mille merveilles, notamment au sujet des nombres premiers. Mais gare au téméraire qui abordera l'hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l'ampleur et de la difficulté de la tâche... Dossier 5 : Applications « À quoi servent les mathématiques ? » est une question que certains continuent à poser. Alors, les nombres « imaginaires », n'en parlons pas... Et pourtant, sans les nombres complexes, il y a fort à parier que les scientifiques n'auraient pas trouvé ces nouveaux algorithmes puissants qui permettent de multiplier extrêmement rapidement deux nombres gigantesques, réduisant de manière considérable les temps de calcul des ordinateurs. De même, sans les complexes, la théorie de l'électricité, cette fée dont plus personne ne saurait se passer aujourd'hui, ne serait probablement pas aussi cohérente. Et l'on serait bien en peine de concevoir des ailes capables de porter un avion dans les airs, ou de modéliser finement les trajectoires des planètes...

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Le sommaire Dossier 1 : Sous plusieurs angles L’évocation des polygones renvoie généralement aux figures géométriques de nos pavages, souvent réguliers. Leur effective simplicité pourrait faire accroire que leur étude est sans difficulté, donc sans intérêt. Pourtant, certaines opérations demeurent complexes. Sujets traités Qu’est-ce qu’un polygone ? Albert Girard, le précurseur des classifications Taxonomie polygonale Quelques constructions Les polygones réguliers Irrationalité géométrique La naissance d’une étoile Les groupes de symétrie, un outil puissant Randonnée en Polygonie Dossier 2 : Des classiques au sommet Depuis l’Antiquité, on s’est intéressé à calculer l’aire d’un quadrilatère et de polygones simples. Ces questions donnent encore lieu à des développements. Autre problème antique, la construction de polygones réguliers à la règle et au compas. Sujets traités Pick, un théorème inspirant Des polygones entiers Pythagore Héron Heptadécagone : le vrai du faux Les pentagones de Robbins Napoléon, géomètre du monde Dossier 3 : L’univers des quadrilatères Les quadrilatères sont généralement présentés et classifiés comme sous-catégories du parallélogramme. On en arrive ainsi à penser qu’un quadrilatère quelconque n’aurait aucun intérêt. Quelle erreur ! De très belles propriétés se savourent dans les cas les plus généraux. Sujets traités À la rencontre des quadrilatères Ceci n’est pas un carré Les quadrilatères convexes Quadrilatères circonscriptibles Les orthodiagonaux Prolonger pour compléter Dossier 4 : Un monde aux multiples côtés Les polygones sortent largement du cadre strict de la géométrie, avec des applications pratiques ou ludiques. On les retrouve, par exemple, en architecture ou en arithmétique. Ils sont naturellement les tesselles de nombreux puzzles et sujets d’un vaste champ de récréations mathématiques. Sujets traités Quand les polygones forment des nombres Pentacles et pentagrammes La quadrature des polygones Chapeau einstein ! Le théorème de la découpe unique Les richesses cachées de la table de Pythagore Le castel del Monte Le château de Maulnes Le polygone de sommet, un polygone au sommet ! Le polygone de Petrie

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les fondements Mathématiques et musique sont deux langages universels aux origines communes et aux évolutions parallèles. Voyons comment, depuis l'Antiquité, la reine des sciences se propose de percer les secrets de l'harmonie. Musique et mathématiques : des destinées parallèles / Mathématiques et musique : une origine commune / L'harmonie des pythagoriciens / La moyenne harmonique ou comment accorder les fréquences / L'impossible quête de l'échelle parfaite / La musique des mathématiques orientales / De la gamme chromatique aux congruences / Accord perdu : les mathématiques de la guitare / Translations musicales / Les rondes de quintes / La géométrie de la scie musicale / Le tempérament égal à travers le monde Dossier 2 : La composition Les mathématiques ont largement nourri l'inspiration de compositeurs contemporains comme Pierre Boulez ou Yannis Xenakis. Mais ceux des siècles passés, tels Bach et Haydn, avaient déjà la fibre mathématique. Symétrie et composition / Composition automatique et ordinateur / Pierre Boulez, celui qui a institutionnalisé la musique / Des matrices pour influencer le hasard / Iannis Xenakis / Bach mathématicien ? / 3 minutes 14 de bonheur / Yaron Herman ou l(improvisation mathématique / Schoenberg, le maître de la musique moderne Dossier 3 : La technologie Sous la musique, les maths! Depuis le XIXème siècle et Fourier, on sait que le son se décompose en sinusoïdes. De là, la technologie numérique peut entrer en scène pour reconstituer la musique à partir de nombres. Les matheux sont-ils prédisposés pour la musique? / La décomposition de Fourier / Un filtre en canon / MP3 : le son compressé / Les métamorphoses d'une sinusoïde / Faire un son avec d'autres sons Dossier 4 : Lieux et figures Regard sur quelques lieux et figures emblématiques de la musique. Voyage à la Cité de la musique à Paris et à l'Opéra de Pékin. Voyage également avec des musiciens connus et moins connus. La Cité de la musique / L'Opéra de Pékin / Leonard Bernstein / Alain Connes, pianiste / Femmes et musique / Les arêtes du cube / Ernest Ansermet, mathématicien et musicien / tom Johnson / Michel Deneuve, cristaliste / Du club de maths au CD professionnel / Francis Reynès, le matheux chantant Et toujours < /b> En bref - jeux et énigmes - solutions des jeux et énigmes - problèmes - récréations mathémusicales - solutions des problèmes

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Née au début du XIXe siècle dans la tête du jeune mathématicien génial Évariste Galois dans le cadre de la résolubilité d’une équation polynomiale, la notion de groupe a littéralement envahi tous les domaines des mathématiques. Même si le groupe est un concept algébrique, plusieurs situations de la géométrie en bénéficient. Nombre de problèmes actuels des mathématiques consistent en la détermination d’un groupe, l’étude de ses propriétés ou la recherche d’un isomorphisme entre plusieurs d’entre eux. Et cela dépasse même les mathématiques pour atteindre les autres sciences : la physique avec les particules fondamentales ou la mécanique quantique, la chimie avec l’étude des cristaux. D’autres champs de l’activité humaine, comme les sciences sociales, la littérature, les jeux (dont le Rubik’s Cube) ou les arts peuvent aussi s’appuyer dessus. Le célèbre Alexandre Grothendieck considérait que les deux plus grandes inventions mathématiques de tous les temps étaient le zéro et… le concept de groupe ! Les dossiers • La genèse d’un concept novateur • L’algèbre revisitée • Incontournables en géométrie • Des applications dans de multiples domaines

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SOMMAIRE Démonter : une histoire au long cours Dossier 1 : Les fondements de la preuve La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques, la différenciant des autres sciences. Tout au long d'une longue histoire, qui remonte aux Grecs de l'Antiquité et qui continue à s'écrire aujourd'hui, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien. Les bases de la logique / Cela existe, je l'ai démontré! / Bien choisir son axiomatique / Les limites de la preuve / Kurt Gödel, le vrai et le démontrable / Une démonstration peut-elle être purement visuelle? / Le rôle de l'analogie en mathématiques / Preuve et logique Dossier 2 : Les grands classiques Les différents modes de démonstration sont aujourd'hui bien établis. Certains datent de l'Antiquité, d'autres sont nés en France au XVIIe siècle. Le raisonnement par récurrence, qui est selon Henri Poincaré « une propriété de l'esprit lui-même », est plus récent. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donné... Démontrer : une grande variété de méthodes / Analyse et synthèse : une particularité des mathématiques / Pour un tiroir de plus.../ Comment trouver un bon invariant / La démonstration par récurrence / L'étrange axiome du choix / La récurrence et la base incomplète / Les joies du transport de propriétés / Cantor et les infinis Dossier 3 : De nouvelles formes de preuves Si les bases de la logique sont désormais bien établies, de nouveaux outils pour la démonstration continuent à être introduits en mathématiques. L'arrivée des ordinateurs pose plusieurs questions fondamentales: les algorithmes utilisés produisent-ils toujours un résultat, ou peuvent-ils boucler sans fin ? Peut-on distinguer un problème « facile » d'un problème « difficile»? Des calculs à n'en plus finir / Non, les problèmes ne sont pas tous de même difficulté! / Manipuler pour démontrer / Même le hasard peut créer des certitudes / La méthode d'exhaustion / L a théorie homotopique des types : de nouveaux fondements des maths ? Dossier 4: Les apports de l'informatique L'informatique théorique est la science qui nous a le plus obligés à repenser la notion de preuve. Les analogies entre démonstration mathématique et programme informatique sont maintenant bien établies. L'ordinateur offre des moyens de calculs inédits. Il devient même possible de certifier qu'une preuve mathématique est effectivement valide. La démonstration automatique : un enjeu crucial / Prouver rapidement qu'une propriété est vérifiée ... ou pas / Comment prouver son identité / Une preuve de maths est un programme informatique ! / Vérifier une preuve en n'en lisant que quelques lettres ! / Le "petit"théorème PCP / Réduire la taille d'une preuve Et aussi La preuve par le contre-exemple / Idées lumineuses Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes- solutions

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Des objets mathématiques omniprésents dans notre quotidien Pour définir précisément les surfaces, la géométrie a été mise à contribution dès l'Antiquité. Sont ensuite venues l'algèbre, l'analyse et la topologie. Chaque approche a permis d'enrichir le catalogue des surfaces remarquables et d'en imaginer d'autres, plus élégantes ou plus… extravagantes. Le ruban de Möbius, qui ne possède qu'un seul « côté », défie notre intuition, tout comme les fractales « lisses » qui permettent des opérations « choquantes », comme celle qui consiste à déformer une sphère de la taille de la Terre en une balle de ping pong sans changer les distances... Les surfaces ont aussi fait rêver les architectes, de Gustave Eiffel à Vladimir Choukhov. Quant aux artistes, concepteurs ou plasticiens, ils les ont détournées selon leur inspiration, du tricot à l'infographie, des bulles de savon à l'assemblage mécanique…

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SOMMAIRE Les onze états du taureau de Picasso / Tous les chemins mènent à Königsberg Dossier 1 : Les types de graphes Quelques points et des traits pour les relier suffisent à créer un graphe. Une idée aussi simple se devait d'engendrer un monde foisonnant d'objets: les idées les plus élémentaires sont souvent les plus riches! Les graphes planaires / Quand les chemins ne se croisent pas / Gardons le sens de l'orientation et restons pondérés! / Obstruction et stabilité / Les matrices entrent en scène / Le graphe de l'amitié et le moulin à vent / Des arbres au secours des probabilités / Des graphes et des surfaces à partir d'un carré / Le théorème des quatre couleurs / Colorier, un défi innocent et redoutable / Le théorème des graphes parfaits / Cliques et théorème de Turan/ La formule d'Euler et les solides de Platon / Le polyèdre de Czàszàr, un monstre topologique / Diagrammes de Schelegel : les polyèdres sont des graphes! Dossier 2 : Des applications à la vie quotidienne De par leur structure purement topologique, les graphes sont un puissant outil d'aide à la décision. Ils sont utiles pour planifier et ordonnancer les tâches dans une chaîne de production, gérer les priorités dans un projet, ou hiérarchiser les étapes dans une suite d'instructions informatiques... La fourmi et le problème du voyageur de commerce / Un projet dans le bon ordre, la méthode PERT /L'algorithme de Dijkstra / Quand le chemin se joue aux dés / Un problème de téléphonie mobile / Desa rbres pour faire passer les trains / Comment éviter les bouchons / Un arbre pour le théâtre / Entre sens et texte / Les livres dont vous êtes le héros Dossier 3 : Dans L'informatique Que serait la théorie des graphes aujourd'hui sans l'informatique ? Qu'il s'agisse de trier des données, de compresser des fichiers ou de rechercher un mot dans un texte, on retrouve partout une structure de graphe dans un ordinateur. Parler à son ordinateur / Retrouver un mot dans un texte / Les réseaux de neurones / Des listes autrement qu'en ligne / Des arbres à compresser Dossier 4 : Jeux de graphes La théorie des graphes permet de comprendre, voire de résoudre une grande quantité de jeux de réflexion ou de jeux mathématiques et logiques, parfois de manière inattendue (voir à ce sujet le numéro 46 de la Bibliothèque Tangente). A contrario, les graphes peuvent être à la source d'une catégorie de récréations dont les plus classiques sont des problèmes de labyrinthes. Arbres, jeux et stratégies / Graphes sur un échiquier / Algorithmes en graphes / Graphes et labyrinthes / Résoudre des énigmes à l'aide des graphes / Jeux et problèmes / Solutions et en bref

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ÉLe jeu est l’une des activités humaines les plus pratiquées, par les enfants comme les adultes.
Quand il est partagé avec d’autres, on parle de jeu de société.

Depuis des siècles, il en existe des milliers, et de nouveaux voient le jour régulièrement, souvent liés à la culture des différents pays.

Une fois la règle définie, chacun essaie de faire au mieux pour gagner.
C’est là que la mathématique joue (c’est le cas de le dire !) un rôle fondamental, en faisant appel, selon le type de jeu, à plusieurs de ses branches.

Dans les jeux à deux où les positions des deux adversaires sont connues, comme les dames, les échecs, le go, mais aussi d’autres jeux plus simples, la théorie des graphes permet, en théorie, d’étudier toutes les situations (en pratique, elles sont souvent trop nombreuses).
Quand l’information est incomplète, parce qu’on ne connaît pas le jeu des adversaires ou parce qu’il faut tirer des cartes ou lancer des dés, les probabilités sont à l’œuvre.
Mais cela ne s’arrête pas là ! La géométrie, la combinatoire, l’arithmétique peuvent être convoquées.

Les dossiers

Les jeux à information complète
Information incomplète : le rôle des probabilités
Quand géométrie et combinatoire s’en mêlent
Des jeux dans toutes les cultures

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les suites élémentaires Bien que récemment théorisées, les suites se sont composées comme un incontournable outil de l'analyse. Les plus simples d'entre elles font partie de notre quotidien. Qui n'a jamais entendu parler des suites arithmétiques et géométriques, ou de la suite de Fibonacci? Relations de récurrence en économie / Les trésors inépuisables de la suite de Fibonacci / Suites à récurrence linéaire ou affine / Gauss et la moyenne arithmético-géométrique / Une encyclopédie des suites d'entiers / Les suites de Queneau / Cordic : les suites cachées des calculettes / La résolution d'équations financières / Les suites de Farey / Des termes en cascade Dossier 2 : L'approximation et le calcul de limites Quand on évoque une suite ou une série, on parle de l'infini, parfois même sans le savoir! Infinité des décimales d'un nombre réel, infinité d'opérations imbriquées, infinité d'étapes avant d'atteindre une limite Les fonctions continues, l'algorithme de Babylone, les développements en série sont autant de moyens d'obtenir un résultat à l'aide d'une infinité d'opérations. Développements décimaux / Les calculs paradoxaux d'Euler sur les séries divergentes / Les fractions continues / Archimède, un génie intègre / Le calcul des racines carrées / Les séries géométriques en économie et en finance / Les suites, les séries et 𝝅 Dossier 3 : Les séries Que se passe-t-il lorsque l'on somme tous les termes d'une suite? Bien souvent, la série obtenue diverge : les sommes partielles ne semblent pas tendre vers un nombre. Parfois pourtant la somme a un sens. De la divergence de la série harmonique aux différents modes de convergence, les séries offrent une foisonnante diversité de comportements. La surprenante divergence lente de la série harmonique / Variations sur la série / Le calcul des sommes / La série harmonique alternée / La série géométrique / Différents modes de convergence / Séries géométriques et critères de convergence / Les polynômes qui ne s'arrêtent jamais / Les séries de Riemann / Dzêta de deux façon Euler / La constante d'Apéry / Naissance des séries trigonométriques / Une série étonnante : l'exponentielle Dossier 4 : Jeux et problèmes en série Les suites se prêtent au jeu, et Tangente vous propose d'en abuser sans modération. Ces problèmes peuvent être inspirés des défis que les mathématiciens se lançaient au Moyen Age, des tests modernes de QI ou des programmes scolaires. Suites de jeux, jeux de suites / Les suites au bac / Les suites logiques et leurs secrets Et toujours Problèmes - solutions - en bref - notes de lecture - le who's who des suites

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SOMMAIRE De l'abaque au boulier / Racines grecques, boulets / Le mauchecar de la combinoraticenne Dossier 1 : Dénombrements élémentaires Dénombrer c'est bien plus que compter! Si l'on sait réciter en une monotone litanie la suite des entiers 1,2,3,4... jusqu'à l'épuisement, on ne connaît pas toujours les subtilités que recèlent les combinaisons, les arrangements, les permutations et autres dérangements. De la théologie à la combinatoire moderne/ Dénombrements élémentaires / Dénombrer les mains au poker / Histoires de dérangements / Chemins faisant / Les nombres de Catalan (1) / La bijection pour dénombrer / Les permutations Dossier 2 : Secrets et méthodes Les outils mobilisés pour dénombrer sont parfois complexes : combien d'essais infructueux avant de trouver l'analogie ou la bijection lumineuse d'où va jaillir la solution! Quelques principes "magiques", simples et féconds, vont aider à manipuler les objets "discrets". Le principe des tiroirs / Induction, récurrence et récursivité / Les nombres de Catalan (2) / Le crible de Poincaré / Les fonctions génératrices / Le principe de l'extremum Dossier 3 : Graphes et optimisation Que ce soit pour visualiser les positions gagnantes d'un jeu et découvrir les stratégies qui y mènent, ou pour optimiser un processus sous contrainte, la théorie des graphes s'avère souvent salutaire. Le calcul booléen / Optimisation combinatoire / Le très discret groupe tétraédrique / La programmation en nombres entiers / La théorie des jeux / Mathématiques discrètes Dossier 4 : Jouer avec la combinatoire Par nature, les mathématiques discrètes sont facilement représentables : des grilles de sudoku aux problèmes de coloriage en passant par l'assemblage des pièces d'un puzzle, les interprétations visuelles et ludiques ne manquent pas pour décrire les propriétés du monde discret. Problème de coloriages / Théorème des quatre couleurs / Les parallélépipèdes parfaits / Le rangement de ma boîte de cubes / Décomposition d'un carré / Guitarpèges / Un théorème qui tombe à Pick / Le stomachion d'Archimède Dossier 5 : Problèmes de maths discrètes L'histoire de l'analyse combinatoire et des mathématiques discrètes n'est pas ancienne, en comparaison avec celle de la géométrie ou de l'arithmétique. il en résulte qu'un grand nombre de problèmes sont récents, et pas toujours encore résolus. La combinatoire hier et aujourd'hui / Combien existe-t-il de grilles de sudoku? Et toujours Preuves sans mots - jeux et problèmes - solutions

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Le sommaire Dossier 1 : Au cœur de son siècle Dans cette ville de Paris qui pouvait revendiquer le statut de capitale intellectuelle de l’Europe, Cauchy a été le pivot scientifique de sa génération. Sa carrière n’eut toutefois rien d’un long fleuve tranquille. Sujets traités Chronologie d’une vie Madame Cauchy se rend à Cherbourg Une personnalité contrastée D’Arcueil à Sceaux, sur les pas de Cauchy L’essor de la presse spécialisée L’engagé Des affinités complexes La bataille de l’infini Comment Cauchy voyait le monde Dossier 2 : Des idées foisonnantes Comment faire le tour de l’un des mathématiciens les plus prolifiques de l’Histoire ? Des polyèdres aux nombres complexes, Cauchy a écrit sur tous les sujets des mathématiques, y imprimant une marque indélébile. Sujets traités Premières découvertes 175 ans après Fermat Un lent mais décisif ralliement aux quantités imaginaires Un nombre pour en trouver d’autres Questions de racines Substituer pour compte Dossier 3 : L’homme des limites L’un des principaux mérites de Cauchy est d’avoir modernisé l’analyse en explicitant la notion de limite. Cette clarification devenue nécessaire a donné une impulsion capitale aux développements ultérieurs. Sujets traités De la suite dans les idées La bataille pour l’espérance Aux fondements de l’analyse moderne L’équation fonctionnelle de Cauchy Un cours d’analyse révolutionnaire mais contesté Condenser les séries Aux origines de l’analyse complexe Dossier 4 : Un héritage omniprésent Son influence a été si profonde que le baron Cauchy est l’un des rares mathématiciens dont on peut dire que, dans tous les domaines, il y a un avant et un après lui Sujets traités En attendant Schwarz La longue aventure du théorème de Cauchy-Lipschitz De l’intuition à la rigueur : le cas des fonctionss S’aplatir pour tracer un cerclee Le mouvement des fluides Le coup de chance de Farey Une distribution pas comme les autres Souffler les polyèdres Les débuts des groupes

Description de l'éditeur Ce livre, conçu comme un clin d’œil à la revue Tangente, propose une exploration des différentes facettes de la notion de tangence que l’on retrouve dans tous les domaines des mathématiques et dans plusieurs applications parfois inattendues.

À l’origine, de nombreuses situations géométriques sont liées au cercle (Arbelos, cercles jumeaux d’Archimède, cercles de Pappus, de Malfatti, et même sangaku).

Les courbes et les droites prennent la relève grâce au lien avec la dérivée et l’extrapolation aux asymptotes.

La tangente reste aujourd’hui un outil universel puissant pour étudier les courbes et essayer de mettre à jour leurs
propriétés.

Par ailleurs, l’essor de l’analyse a donné un cadre à l’étude de certaines fonctions utilisées depuis longtemps.
C’est le cas en trigonométrie, en particulier avec la fonction tangente.

Le voyage se termine par l’usage de la notion de tangence dans de nombreux domaines, en particulier en physique, mais aussi… en économie

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La complicité de ces deux outils géométriques élémentaires que sont la règle non graduée et le compas a toujours été fructueuse, depuis l’Antiquité jusqu’à l’infographie moderne en passant par les pratiques des bâtisseurs du Moyen Âge. En compagnie de ces deux instruments, amateurs d’art et amoureux de géométrie seront séduits par ces tracés délicats que crée sur une feuille de papier le crayon guidé par la règle et le compas. Ils pourront revivre la longue et passionnante épopée de la trisection de l’angle, découvrir des quadratures du cercle approchées, s’émerveiller devant l’ingéniosité des Anciens aux prises avec la duplication du cube. Car ce numéro évoque aussi certaines impasses. Mais, même quand elles n’ont pas été couronnées de succès, les tentatives de constructions ont conduit à de nouvelles pratiques : tracés de courbes point par point, utilisation d’astucieux instruments, pliages de papier inventifs, subterfuges graphiques… Les dossiers Deux instruments dans l’histoire Méthodes et constructions Pratiques d’hier et d’aujourd’hui Au-delà de la règle et du compas

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SOMMAIRE Le latin, source de mots nouveaux / Le manifeste de l'art vectoriel Dossier 1 : Histoire et axiomatique La notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIX ème siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs ont permis ce changement de point de vue en introduisant les notions de « base », de « déterminant », d'« application linéaire » Expliquer les vecteurs par la géométrie / Une relation qui s'est fait un nom / Un concept révolutionnaire / « La » dimension : une idée pas si évidente ! / Applications linéaire : le noyau dur de l'algèbre linéaire / Le théorème du rang Les matrices vues comme des vecteurs / Les modules Dossier 2 : La géométrie autrement Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Cette « mathématique sans figures » s'intéresse aux transformations de l'espace et à leurs invariants. L'intuition géométrique y trouve un sens renouvelé. Une géométrie sans figures / Le programme d'Erlangen / Du vectoriel à l'affine et vice versa ! / Précieux barycentres / Alignement, coplanarité, concourance même combat ! / Les transformations géométriques sous l'angle des vecteurs / Composer des transformations géométriques / La conjecture des bases de Rota Dossier 3 : Espaces euclidiens, distances et normes En introduisant le concept d'orthogonalité et d'angle grâce au produit scalaire, le champ des espaces vectoriels débouche sur les espaces euclidiens et hilbertiens. Les espaces normés sont ainsi devenus des cadres incontournables dans lesquels s'inscrivent désormais la géométrie et l'analyse. Propriétés affines et métriques / La lente émergence des espaces euclidiens / Espaces normés, espaces fonctionnels / Le produit vectoriel Angles orientés et rotations du plan / Les polynômes vus comme des vecteurs / Le plan projectif et l'espace universel / Calcul approché d'une intégrale et orthogonalité Dossier 4 : Des applications aux sciences Les vecteurs se sont révélés indispensables à l'étude des mouvements et des forces. Leur champ d'application s'étend bien au-delà : toutes les sciences de l'ingénieur font un usage immodéré de l'algèbre linéaire, du calcul matriciel, et des notions qui en sont dérivées, comme les spineurs. Cinématique : l'atout « vecteurs » / Le mouvement vectoriel de la comète Encke / Équations linéaires et suites récurrentes / Au-delà des vecteurs / Les spineurs / L'analyse vectorielle, des outils pour les champs Dossier 5 : Ils sont partout ! Les vecteurs apportent un enrichissement de notre approche de nombreux domaines. Leur présence a opéré une véritable révolution, accentuée par l'avènement de puissants outils de calcul, aussi bien dans le stockage et la définition d'une image, en art ou en littérature. Les mots sont des vecteurs / Images matricielles, images vectorielles / Les espaces vectoriels, c'est ludique ! / Le dessin de la toile d'araignée « Lambertiser » le cadastre ! / Les espaces vectoriels musicaux de Yanis Xenakis Et toujours En bref - Nouvelle : L'héritage extraordinaire de Papy Askilman - Mathématiques récréatives - Problèmes - Notes de lecture et solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Systèmes linéaires et transformations géométriques Les matrices, ce sont ces tableaux de nombres sur lesquels on peut définir des opérations naturelles. Ces objets algébriques permettent de modéliser naturellement les systèmes d'équation linéaires. Plus surprenant est leur rôle dans la description des transformations géométriques : les matrices leur ouvrent des horizons inattendus ! Espaces vectoriels : l'algèbre à l'assaut de la géométrie / Des matrices pour transformer / Le sens du déterminant / Transformations affines et points invariants / Systèmes linéaires et matrices / Comment rentrer dans le rang / Les nombres complexes comme ensemble de matrices / Le théorème de Cayley-Hamilton / Les fonctions homographiques Dossier 2 : Réduction de matrices Une matrice existe généralement sous différentes formes, ou plusieurs déguisements. Ainsi, pour pouvoir "lire" directement les propriétés d'une matrice. Il est utile de chercher la forme " la plus simple " qu'elle peut revêtir. Le pivot de Gauss en est un bon exemple : la nouvelle forme de la matrice ( triangulaire) permet une résolution immédiate d'un système linéaire. Diagonaliser pour calculer les puissances d'une matrice / Le pivot de Gauss / Similitude et diagonalisation / Diagonalisation, géométrie et algèbre / La trigonalisation / Manipuler des matrices avec un tableur Dossier 3 : Les matrices sont partout! Que l'on soit ou non mathématicien, les matrices nous environnent. La planète Neptune a d'abord été découverte sur le papier, grâce à un proto-calcul matriciel, avant d'être effectivement observée. L'économie, l'actuariat et la finance sont friandes de matrices. L'électronique, l'informatique et toutes les sciences ne peuvent s'en passer. Il est temps d'apprendre à reconnaître ces objets! Agrandir les images sans perdre en qualité / Partout en physique, des matrices / La trilatération / Les matrices actuarielles / Les tableaux entrées - sorties en économie / Matrices élémentaires en économie / Matrices et codes secrets / Les hommes préfèrent les grosses... matrices / Calculs matriciels en statistique multivariée / Les matrices d'Hadamard / Problèmes de géo-matrices Dossier 4 : Des matrices et des jeux Un grand nombre de jeux font intervenir des tableaux de nombres. Ainsi, derrière chaque jeu de grille logique, chaque sudoku, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution. Mais les matrices se nichent parfois là où ne les attend pas : dans les jeux littéraires, l'écriture sous contraintes les a depuis longtemps déjà mises à contribution. Les carrés magiques : des matrices comme les autres / Divertissements littéraires / Les matrices sudokus / Les matrices lumineuses du Light Out / Problèmes / Les carrés magiques / Solutions Et toujours en bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : L'Univers et son histoire L'astronomie sera toujours, selon la phrase d'Évry Schatzman, " la plus ancienne et la plus neuve de toutes les sciences ". liée à Dieu, à la philosophie, aux mathématiques, aux autres sciences, elle est à la fois mère et sœur de tous les savoirs et de toutes les cultures. Mieux : ne serait-il pas la "science première " ? Le système solaire / Vingt-cinq siècles d'astronomie / Tycho Brahé / Sciences et magie… étrange alchimie! / Cherchez le centre / Une main de fer dans un gant d'acier! Urbain Le Verrier / Les compteuses d'étoiles Dossier 2 : Le mouvement Les Anciens pensaient que tous les astres décrivaient des cercles autour d'une Terre immobile. Puis vinrent Copernic, Galilée, Kepler, Newton, Einstein… nous invitant à sans cesse repenser la manière dont se meuvent les objets de l'Univers les uns par rapport aux autres. Au cœur du mouvement, on découvrit des courbes merveilleuses : les coniques. Jamais las d'observer le ballet des objets célestes, on apprit aussi à le prévoir. Des courbes célestes : les coniques / La loi des aires démontrée par Newton / Le principe de relativité / Les récurrences de Vénus / La mécanique des éclipses / Problème : le passage de Vénus Dossier 3 : Mesurer le lointain A quelle distance de nous se trouvent les étoiles et les planètes’ Comment mesurer ce qui est à peine visible à l'œil nu’ Au secours de l'astronomie, il y a d'abord la géométrie, qui offre d'ingénieuses méthodes de calcul. Enfin, les progrès de la science des astres sont indiscutablement liés à l'évolution des instruments de mesure. Lunette ou télescope? / De Descartes aux télescope géants / La mesure des distances / La statistiques des étoiles / Le cycle stellaire Dossier 4 : L'Astronomie aujourd'hui Si l'astronomie est la ^plus ancienne des sciences, c'est aussi celle qui a progressé le plus au cours des vingt dernières années, davantage qu'en toute autre époque. Par ses conditions extrêmes, l'Univers est un laboratoire idéal pour le physicien, le chimiste… et offre un potentiel de découverte considérable. Expérimenter la relativité / Les mathématiques cosmiques / Les planètes extrasolaires / Il manque de la matière dans l'univers Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes

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On le sait depuis l’Antiquité : répéter mécaniquement un processus permet de trouver des solutions, exactes ou approchées, à de nombreux problèmes. Plus généralement, les suites jouent un rôle important dans les mathématiques. Le raisonnement par récurrence s’appuie sur elles pour démontrer des propriétés souvent fondamentales. Avec l’avènement de l’informatique, de nouvelles voies se sont ouvertes. L’écriture de programmes récursifs, s’appelant eux-mêmes, va utiliser les processus itératifs pour résoudre de manière approchée des équations, donner des valeurs numériques à d’insaisissables constantes ou générer des fractales. Les artistes s’en sont d’ailleurs emparés pour produire des œuvres, qu’elles soient graphiques, littéraires ou musicales,reposant… sur les mathématiques. Les dossiers Processus itératifs Récurrence Récursivité Des utilisations dans l’art

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La présentation de Tangente Philosophie et mathématiques sont nées simultanément du regard que l'homme porte sur le monde qui l'entoure. Infini, hasard et déterminisme, logique et paradoxes sont des sujets communs aux deux disciplines qui ont toujours fasciné, et n'ont pas encore livré tous leurs secrets. Pendant toute une époque, ce sont les mêmes savants qui étaient philosophes et mathématiciens. En s'interrogeant sur la nature du savoir mathématique (les nombres existent-ils ? peut-on compter l'infini ? qu'est-ce qu'un point dans le plan ?), des penseurs et des savants comme Platon, Aristote, Pascal, Descartes, Leibniz, Poincaré ont fait avancer la réflexion. Ces interrogations ont conduit à l'émergence de théories sur les concepts concernés mais aussi sur le langage et son efficacité, l'interaction sémantique / syntaxe ou encore le rôle de l'intuition. Elles ont aussi été à l'origine de croyances comme celle de l'existence d'entités inaccessibles. Les enjeux de ces questionnements, de ces échanges, de ces controverses sont mis ici à la portée de tous, sans occulter les difficultés suscitées par les notions présentées. Le sommaire Maths et philo : regards croisés La logique Querelles philosophiques Les grandes notions

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SOMMAIRE Impossibles ces figures? / Littlewood, le mathématicien qui tutoyait l'impossible Dossier : 1 C'est impossible, on l'à montré! De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Certains sont devenus de grands classiques. La quadrature du cercle/ La trisection de l'angle / Impossible est-il géométrique? / Rapports d'engrenages impossibles: comment ne pas se casser les dents / Des imaginaires parfois complexes / Quand des systèmes élémentaires sont impossible / Systèmes linéaires impossibles et inverses généralisés / Raymond Queneau et les équations de degré 5 / Un découpage paradoxal et néanmoins rigoureux / Théorème d'impossibilité relatifs à des élections / Algorithmes numériques impossibles Dossier 2 : Variations autour de la notion de preuve Les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur. En mathématiques, ces questions reçoivent le nom de conjectures. Parfois des démonstrations sont fournies, mais si difficiles à reproduire qu'un doute subsiste sur leur validité. L'outil informatique peut alors être d'un grand secours. La notion d'axiome à travers les siècles / Le statut particulier des conjectures / Les grandes conjectures / L'impossible de Gödel : la fin d'un rêve / Des preuves inacceptables ?/ Les grands théorèmes / Le monumental théorème de Feit-Thompson reçoit une preuve formelle /Quand les calculs deviennent impraticables Dossier 3 : Ils existent, mais où sont-ils ? En mathématiques, il est possible de démontrer que des objets existent sans jamais les exhiber. On parle alors de preuves non constructives. Cela pose sous un angle nouveau la question de l'existence en mathématique: suffit-il de définir un concept pour lui donner vie, ou doit-on explicitement le construire ? L'échelle de l'existence mathématique / Impossibles, les événements de probabilité nulle? / Les infinitésimaux nilpotents pour l'analyse / Les fonctions réciproques / Les fonctions implicites Dossier 4 : Jouer avec l'impossible Il est facile, si l'on n'y prend garde, de tomber dans le piège d'un raisonnement subtilement erroné. Plusieurs paradoxes reposent sur de telles manipulations. Des esprits curieux vont alors explorer les conséquences des règles de la logique, par exemple pour résoudre un problème d'apparence impossible dont il semble que toutes les données soient manquantes. Le problème impossible / Un problème impossible et néanmoins soluble!/ Magiciens de père en fils / Paradoxes et démonstrations paradoxales / Les bijections inattendues / On va faire un petit tour... en base 4 / Ces extraordinaires courbes de remplissage / Les jetons bicolores / L'égalité de tous les réels ou le théorème de l'impôt cible / Impossible, même à un Dieu omnipotent? / Les chaussettes de Ramsey / Les trois dès Et toujours en bref - notes de lecture - problèmes - solutions

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SOMMAIRE La Société informatique de France / Le Prix Bernard Novelli / Les perspectives de l'informatique au XXIème siècle / Informatique, popularisation et médiation / Intelligence artificielle et philosophie Dossier 1 : Mathématiques pour l'informatique L'informatique n'existerait pas sans les mathématiques. Les procédures qu'elle utilise, les algorithmes et les structures de langage qui permettent la programmation, la vérification de programme s'appuient sur des théories mathématiques dont certaines ont été algèbre de Boole, notion de complexité ont apporté à l'informatique le support théorique qui en fait une science à part entière. La préhistoire de l'informatique / Babbage et le premier ordinateur potentiel / Le programme de Lady Ada King / Les messages qui se corrigent tout seuls / Alonzo Church, Alan Turing et la calculabilité / Algèbre de Boole / Langages et récursivité / Langages rationnels et automates finis / Complexité de Kolmogorov et profondeur logique de Bennett / Comment éliminer les spams Dossier 2 : Informatique pour les mathématiques Comme toute progéniture reconnaissante, l'informatique a bien rendu aux mathématiques ce qu'elle leur droit. L'expérimentation, la simulation, le calcul haute performance, la démonstration automatique sont quelques-unes des nombreuses portes ouvertes par l'informatique aux mathématiques. Mathématiques expérimentales / Les automates cellulaires et le jeu de la vie / Démonstration, l'ordinateur à la rescousse / Espaces de Banach et informatique théorique / Le problème fondamental de l'informatique théorique: P est-il égal à NP? / La simulation numérique / Le calcul haute performance / Quelques problèmes de calculs Dossier 3 : Des applications qui changent le monde Mathématiques et informatique, une équipe gagnante. Que d'applications de ce partenariat talentueux voient régulièrement le jour! Compression des images, cryptographie, sécurité informatique... L'utilisation des modèles mathématiques sophistiqués agissant sur les données massives ( en finance, biologie, commerce...) fait même débat dans la mesure où elle pose des questions d'éthique inédites. Images numériques, du pixel à la topologie / La méthode de Monte-Carlo : application à un investissement financier / Pirater un site ou une messagerie / Limiter la collecte des données personnelles : un problème juridique NP - difficile / Le langage des molécules du vivant / GroLopin et les plans projectifs finis / Le traitement du signal / Protégez-vous des hackers! / Le Cloud / Le classement des pages par les moteurs de recherche / Entre le robot et l'homme, les mathématiques / La cryptographie, à l'origine de l'informatique Et toujours En bref, problèmes, solutions et notes de lecture

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SOMMAIRE Editorial / La société d'Arcueil, au service des jeunes savants Dossier 1 : Evolution et modèles Nul ne peut ignorer aujourd'hui l'importance de la chimie dans le fondement de notre vie et de notre avenir. Car cette science est à la fois très ancienne et toute jeune. Ancienne par ses questionnements sur la matière et sur l'évolution du monde, jeune dans le développement de modèles prédictifs et explicatifs pertinents, dont les plus sophistiqués s'appuient sur des conceptions mathématiques d'une grande modernité. Une petite histoire de la chimie mathématique / De la désintégration à l'embrassade / Le calcul, indispensable à l'expérience / La chimie mise en équation / Histoire et destinée du tableau de Mendeleïev / L'âge de la Terre / La découverte de Fourier : même le feu est régi par les nombres / La naissance de la chimie quantique / Une algèbre pour comprendre les structures électroniques des atomes et des molécules Dossier 2 : Aux frontières de la physique La chimie se partage avec la physique l'étude de la structure de la matière et des grandes lois qui régissent son comportement. Pas étonnant, donc, qu'un chimiste soit amené à jongler avec thermodynamique, mécanique quantique ou encore mécanique statistique. Structure atomique, liaisons, équilibres sont autant de notions fondamentales qui ne peuvent se comprendre sans l'éclairage des théories de la physique. L'énergie chimique dans tous ses états / Diamants sur paillasse / Les mystères de l'entropie / L'homme qui valait deux Nobel / Les urnes d'Ehrenfest / La loi d'Arrhenius / Boltzmann et l'irréversibilité, une histoire de probabilité... / Pourquoi la glace flotte dur l'eau / Équilibres et réactions Dossier 3 : Structures moléculaires et réactions La chimie s'intéresse à la fois aux propriétés des molécules et à leurs transformations les unes en les autres. Elle nous mène donc de l'échelle microscopique, qui est celles des atomes constituant les édifices moléculaires, à celle, macroscopique, des réactions chimiques que nous observons. Que l'une soit la clé de la compréhension de l'autre, c'est là le grand secret du chimiste! Cayley et le calcul des isomères chimiques / Un prix qui dynamite! / Le cristal, joyau de la nature, chef-d'oeuvre du chimiste / Le "démon" de Prigogine / Cristallographie et polyèdres : de Haüy à Fedorov / L'énigme de la chiralité / Le pH, les logarithmes et des cas limites / Structures cristalline ionique, constante de Madelung et énergie réticulaire / Les secrets mathématiques de l'équation de réaction / Les réactions oscillantes Dossier 4 : La chimie de pointe, les enjeux, l'actualité La chimie de demain sera-t-elle mathématique? Le décloisonnement des disciplines amène de plus en plus de scientifiques ( physiciens, mathématiciens, biologistes, informaticiens, astronomes, ingénieurs...) à la rencontre des problématiques des chimistes. Chimie interstellaire / Contrôler les molécules / Les fractales en génie chimique : de biologie en technologie chimique et énergétique / Traquer la structure d'une protéine jusque dans l'espace réciproque / La pile en deux temps, trois mouvements / Des nanoparticules d'or pour optimiser nos ordinateurs? / L'analyse en composantes principales, technique fondatrice de la chimiométrie Et toujours En bref - note de lecture - photomathons - jeux - problèmes - mathématiques récréatives - solutions