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SOMMAIRE Dossier : "La transformée de Fourier" Résoudre l'équation de la chaleur Les séries de Fourier et la transformée de Fourier permettent la résolution d'équations différentielles. Elles proviennent du même problème physique. Le problème de Didon Quel est le plus grand terrain que l'on puisse entourer avec une corde donnée ? La réponse à ce problème isopérimétrique fait intervenir les séries de Fourier et la formule de Parseval. Améliorer la compression d'images avec les ondelettes L'analyse de Fourier permet de comprimer les images et les sons en ne tenant compte que des principales harmoniques. Les ondelettes permettent une amélioration significative de cette méthode. Multiplier vite et bien grâce à Fourier Certains algorithmes ou méthodes de cryptographie demandent d'effectuer des multiplications de nombres de plusieurs centaines de chiffres. Comment effectuer ces calculs colossaux en temps raisonnable? Le principe d'incertitude La théorie de Fourier permet de regarder un signal sous deux aspects: temporel et fréquentiel. Cette dualité permet de formuler un principe d'incertitude, qui ouvre la voie à la mécanique quantique. Et aussi En bref Nouvelle « les premiers seront les derniers» Mathématiques récréatives cocktail EX0-TIC Ah, les belles preuves! Et Solutions

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SOMMAIRE Résoudre une équation différentielle "Résoudre l'équation différentielle x(x+1)y'(x) + 3xy(x)=1." Qu'est-ce que cela signifie exactement? Faut-il en proposer un calcul numérique? L'évolution temporelle d'un stock Des équations différentielles permettent de caractériser l'évolution du niveau des stocks, ce qui a des applications en logistique, mais pas seulement! La morphogenèse Comment se répartissent les taches sur la peau d'un léopard? En quel point d'une tige végétale émergera un bourgeon? C'est l'ambition de la morphogenèse de simuler, voire aussi d'expliquer, ces phénomènes. La dérivation fractionnaire Les notions de puissance et de factorielle ont été généralisées avec succès sur les nombres réels. De même, une dérivation non entière peut être définie. Les suites différentielles La reconnaissance de structures calculatoires identiques permet de faire des analogies entre des domaines souvent vus comme différents. C'est le cas de certaines suites et équations diférentielles. Et aussi Notes de lecture En bref La révolution HP Prime Nouvelle Mathématiques récréatives Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves! Cocktail EXO-TIC Et Solutions

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Dossier : L'exponentielle La fonction exponentielle: premières propriétés L'exponentielle comme polynôme de degré Infini Exponentielles de matrices Des nouvelles solutions au problème des trois corps Chaines de Markov cachées et algorithme de Viterbi Chaines de Markov et prévisions Et aussi En bref Nouvelle « Navettes spéciales" Coctail EXO-TIC Mathématiques récréatives Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves ! Notes de lecture Solutions

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Sommaire Images : la compression par réduction En informatique, une image se traduit par une matrice d'où l'idée de compresser l'image en réduisant sa matrice, en utilisant la notion de valeur singulière. Mathématiques, informatique, imagerie : quand compression et réduction de matrice vont de pair Les matrices au service de la communication Les messages transmis peuvent arriver avec des erreurs. Comment le savoir ? Comment les corriger ? Les réponses tiennent dans des codes dont le premier dû au mathématicien américain Richard Hamming. En fait, les matrices sont au cœur des codes correcteurs d'erreur. Décomposition du vecteur des productions en analyse input-output Chaque secteur d'activité a des entrées et des sorties. Sur l'ensemble, cela crée une matrice dont les économistes se servent pour déterminer les productions des différents secteurs en tenant compte de tous les échanges intersectoriels ainsi que les commandes externes. Diagonalisation et puissances Le calcul de puissance de matrices peut sembler un simple exercice lié à la diagonalisation. Pourtant, les applications sont nombreuses : calcul de limites, détermination de comportements asymptomatiques On les trouve en particulier dans le classement des pages par Google. Et aussi Notes de lecture Mathématiques récréatives Nouvelle : La matrice désespérante Belles preuves Erreurs et paradoxes Cocktail EXO-TIC Solutions

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SOMMAIRE Les formes quadratiques Les formes quadratiques, c'est-à-dire les fonctions de degré 2 des coordonnées, jouent un rôle fondamental tant en algèbre qu'en géométrie. D'où viennent-elles et qui sont-elles? Les coniques : ellipse, parabole, hyperbole L'intérêt pour les coniques a commencé dans l'Antiquité avant même qu'Apollonius les unifie comme sections planes d'un cône. Mais le plus étonnant reste leur intervention dans le monde concret : mécanique céleste balistique, optique et même acoustique. Réduction des coniques et des quadriques Quelle est la forme d'une quadrique, c'est-à-dire d'une surface du second degré? La réponse complète s'obtient à l'aide de quelques transformations affines et d'un répertoire de formes simples. Formule de Taylor de formes quadratiques La formule de Taylor fournit une estimation locale de la valeur d'une fonction au voisinage d'un point par celle d'un polynôme. Dans le cas de plusieurs variables, des formes quadratiques apparaissent. Maple, Fermat, les trois corps et le Gömböc La sortie récente de Maple 18 est l'occasion de revenir sur quelques utilisations récentes de ce moteur canadien. Et aussi Ah, les belles preuves! Erreurs et paradoxes Mathématiques récréatives Nouvelle " Le confessionnal des matheux" En bref Cocktail EXO-TIC Et Solutions

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SOMMAIRE Dossier : Les séries de Riemann Extension de la fonction La fonction de Riemann peut être étendue au plan complexe privé du point1. Quel intérêt’ Le plaisir d'une conjecture délicate ? Non, avant tout l'étude de la répartition des nombres premiers. Les portes du paradis Dans Tangente numéro 114, nous voyons comment Euler calculait ? Nous montrons ici que sa démonstration est rigoureuse. Séries de Riemann et intégrale La comparaison d'une série et d'une intégrale permet non seulement de conclure dans certains cas à la convergence ou la divergence de la série, mais également d'encadrer ses sommes partielles en cas de divergence ou son reste en cas de convergence. Application aux séries de Riemann. Et aussi Mathématiques récréatives En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Notes de lecture Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE L'ombre de la base canonique sur les polynômes de Bernoulli Les polynômes de Bernoulli ont quelques propriétés analogues à ceux de la base canonique. Comment l'expliquer ? L'inverseur de Plouffe L'usage d'une calculatrice permet de calculer la valeur de n'importe quel nombre exprimé à l'aide des fonctions usuelles. Inversement, comment retrouver une valeur à partir d'une approximation décimale? Mathématiques récréatives : les surprises du triangle de Pascal Le triangle de Pascal est la vedette du numéro 122 de Tangente. Tangente Sup vous propose quelques curiosités supplémentaires à son sujet, dans cette page et dans l'article suivant. Une merveille cachée du triangle de Pascal En 1949, Erdös donna une preuve " élémentaire" du théorème des nombres premiers. De façon surprenante, elle est liée aux coefficients du binôme. Épistémologie et modèles mathématiques La modélisation mathématique peut sembler parfois paradoxale. Une même situation de réalité peut avoir plusieurs modèles mathématiques et le même modèle peut interpréter plusieurs phénomènes distincts. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE La longue naissance des groupes Les groupes sont souvent vus comme une création d'Évariste Galois. Cependant, des précurseurs et des continuateurs ont œuvré pour que la notion de groupe, telle qu'on la connaît aujourd'hui, soit dégagée. Les groupes finis Un groupe est fini quand il ne possède qu'un nombre fini d'éléments. Cette caractéristique lui confère de nombreuses propriétés. Par exemple, les cardinaux du groupe et des sous-groupes sont liés. Permuter des cubes Les permutations d'un objet symétrique forment un groupe. Les résultats sur les permutations peuvent être vus simplement en jouant avec des cubes. Ils sont alors très naturels. Le groupe de Klein Pourquoi les mathématiques sont-elles si efficaces dans tant de domaines différents ? Peut-être car elles s'intéressent aux structures entre les objets étudiés et sont dès lors générales et unificatrices. Comment définir les groupes abstraits Les premiers groupes considérés par Galois sont des groupes de permutations. En 1854, Arthur Cayley est le premier à en donner une définition axiomatique. Comment a-t-il fait ? Loi de groupe sur une cubique L'intersection d'une cubique et d'une droite est formée de trois points. Cette propriété simple permet de définir une loi de composition interne sur la courbe. Cette loi définit en général un groupe... Groupes de Lie et équations différentielles Depuis plus d'un siècle, Sophus Lie a établi une méthode systématique pour trouver les solutions analytiques, quand elles existent, d'une équation différentielle. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes Notes de lecture En bref Avis de recherche Nouvelle Mathématiques récréatives Solutions

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Sommaire Une algèbre pour comprendre les structures atomiques En mathématiques, l'algèbre de Grassmann est une algèbre inhabituelle car son produit, appelé produit de Grassmann ou produit extérieur et noté ^ , est non-commutatif. Même le feu est régi par les nombres Jean-Baptiste Joseph Fourier est connu pour avoir introduit une équation aux dérivées partielles fondamentale : l'équation de la chaleur. Il peut être considéré comme le fondateur de la physique mathématique. Et aussi : En bref et notes de lectures Mathématiques récréatives Histoire d'eau Cocktail EXO-TIC Belles preuves Erreurs et paradoxes Solutions

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SOMMAIRE Dossier : La saga des séries Les sommes de l'harmonique Suivant la précision demandée, la série harmonique a des sommes distinctes. N'est-ce pas la meilleure preuve de sa divergence? Transformations de l'harmonique La série harmonique est divergente (voir à ce sujet les articles de Tangente n°113). Comment modifier ses termes pour la rendre convergente ? Julia et le lapin de Douady Adrien Douady nous a quitté cette année. En hommage, Tangente Sup vous propose une visite au pays de son lapin, celui de la dynamique complexe des polynômes quadratiques. Et aussi Mathématiques récréatives En bref Belles preuves Olympiades Internationales de Mathématiques 1979 Notes de lecture Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Saga : Les séries trigonométriques Naissance des séries trigonométriques Les séries trigonométriques sont nées de problèmes de physique concrets : répartition de la chaleur dans une barre chauffée et mouvement d'une corde vibrante. Elles ont posé ensuite de nombreuses questions (mathématiques) de convergence. Unicité du développement en série trigonométrique Si une fonction est somme d'une série trigonométrique, ce développement est-il unique ? Cette question anodine a donné naissance à la théorie des ensembles de Cantor. Naissance des distributions Dans la Naissance des séries trigonométriques, nous voyons comment résoudre l'équation aux cordes vibrantes. L a solution trouvée fournit rarement une fonction. Elle garde pourtant une valeur, mais dans un autre sens, celui des distributions. Et aussi En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Mathématiques récréatives Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Dossier : La saga des séries Séries géométriques et critères de convergence Les séries géométriques sont parmi celles qu'il est le plus facile d'étudier. Mais elles servent aussi d'étalon pour reconnaître la convergence ou la divergence d'une série moins aisée à cerner. Usage des séries divergentes Au XVIIIème siècle, Euler a obtenu un certain nombre de résultats exacts en attribuant des valeurs à des sommes de séries divergentes. Fruit du hasard ou intuition géniale? Les nombres hypercomplexes Toute généralisation s'accompagne de la perte de quelques propriétés. Dans cet exposé très simple sur les nombres hypercomplexes, on (re)découvre l'algèbre des complexes, celle des quaternions, des octonions... Et aussi Notes de lecture En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche

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SOMMAIRE Dossier : Les mathématiques des fluides L'équation de Navier-Stokes et la méthode de Leray Dans Tangente n°116, on découvre un pionnier des mathématiques de la turbulence : Jean Leray. Penchons-nous ici sur la démarche qui fut la sienne dans l'étude des solutions de l'équation de Navier-Stokes. Saga : Pavages et découpages Les groupes de l'Alhambra L'Alhambra de Grenade est réputé pour ses jardins et ses décorations géométriques. Les carreleurs y ont utilisé les dix-sept façons d'agencer des pavés décoratifs. Comment les reconnaître? Les suites globalement croissantes L'étude des suites oblige à préciser des notions intuitives car de nombreuses propriétés que l'on pense de prime abord exactes, voire évidentes, peuvent parfois s'avérer fausses. Par exemple, comment définir la notion de suite globalement croissante? Et aussi Mathématiques récréatives Belles preuves Erreurs et paradoxes En bref Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE La réforme des universités, Interrogations et certitudes Les étudiants sont dans la rue, les facultés bloquées. Mais peu connaissent les modalités de cette fameuse réforme des universités si contestée et personne ne peut en prédire les conséquences pratiques. Puissances de matrices Le calcul de puissances de matrices est un exercice classique, proche de la diagonalisation. Des résultats en facilitent l'approche. Parmi les applications, on trouve l'étude de la dynamique de certaines populations. L'infini, entre logique et paradoxes Notre monde, comment est-il’ Discret ou continu’ Logique ou paradoxal’ Décidable ou indécidable? Toutes ces questions relèvent de la notion d'infini. Limites supérieures et valeurs d'adhérence : exemples et contre-exemples Les suites numériques sont connues depuis l'Antiquité, et plus couramment utilisées depuis Cauchy. On s'intéresse ici aux suites divergentes et à leurs valeurs d'adhérence lorsqu'elles existent. Magnétorésistance géante, une révolution nobélisée Le Nobel 2007 récompense la découverte de la magnétorésistance géante par Albert Fert et Peter Grünberg. Une révolution pour les disques durs, qui est en passe de bouleverser l'électronique grâce aux nanotechnologies. Et aussi Mathématiques récréatives Belles preuves Erreurs et paradoxes Notes de lecture En bref Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Deux problèmes japonais Kobon Fujimura a été l'un des plus grands créateurs de jeux mathématiques au Japon. On lui doit le célèbre poisson que l'on peut retourner en déplaçant seulement trois allumettes. La chaînette élastique La chaînette élastique est la courbe que prend un fil pesant rigide suspendu en deux points. Si celui-ci est élastique, nous obtenons une chaînette élastique. Par l'auteur du site Mathcurve. Les courbes des ponts suspendus Les ponts suspendus, premiers ouvrages à permettre de grandes travées au début du XIXème siècle, sont maintenant très répandus et les câbles soutenant leur tablier font partie de notre paysage quotidien. Mais pourriez-vous me dire quelle courbe est définie par leur molle courbure ? Utilisation d'un microscope virtuel Pour étudier l'allure d'une courbe, quoi de mieux qu'un microscope (virtuel, bien sûr) ? Voyage au pays des hyper réels et de l'analyse non standard. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

Description de l'éditeur Vous avez entre les mains le numéro de Tangente 49 de Tangente SUP. Le prochain, Tangente SUP 50, ne paraîtra qu'en septembre. Le suivant numéroté 51-52, sera un numéro double consacré au thème des TIPE retenu pour la rentrée 2009 : les surfaces. N'oubliez pas par ailleurs de vous réabonner dans les temps afin de le recevoir! Nous ferons notre possible pour l'envoyer fin octobre, afin que les enseignants et leurs élèves puissent l'utiliser au plus vite.

La rédaction

SOMMAIRE

La ronde des quintes

La gamme majeure comporte sept notes choisies parmi les douze que compte la gamme chromatique. Ces deux nombres, 12 et 7, ne doivent rien au hasard mais à des questions géométriques.

Translations musicales

L'utilisation des transformations géométriques ne se limite pas aux mathématiques ou arts plastiques. Nous retrouvons les translations en musique, dans les canons.

Mensualisation et inflation

L'inflation suit une loi géométrique, pas une loi arithmétique, ce qui n'empêche pas les calculs... arithmétiques.

Et aussi

Mathématiques récréatives
En bref
Belles preuves
Erreurs et paradoxes
Avis de recherche
Solutions

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Henri Poincaré nous a quittés il y a cent ans. Un siècle après sa mort, nous continuons à découvrir des applications extraordinaires de ses travaux en mathématiques et en physique théorique. Ses ouvrages de philosophie continuent d'influencer les thèses épistémologiques actuelles. Il fut le dernier savant universel de son temps : en plus d'être un mathématicien de tout premier plan, dont les découvertes sont loin d'avoir été toutes exploitées, Henri Poincaré a contribué de manière décisive à toutes les branches de la science du début du XXe siècle. Travailleur infatigable, il fut en outre un ingénieur, un philosophe, un brillant pédagogue, et un citoyen engagé. Enfin, signe qui ne trompe pas : ses erreurs scientifiques furent fécondes et sources de nombreuses nouvelles découvertes. C'est l'apanage des plus grands. Sommaire Henri Poincaré Poincaré, l'autre prince des mathématiques Les concours de Poincaré La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré Poincaré et l'Affaire Dreyfus Le problème des trois corps La théorie du chaos Promenons-nous dans le disque de Poincaré Les travaux de Poincaré en topologie algébrique La conjecture de Poincaré Le groupe fondamental Le premier article américain de Poincaré Henri Poincaré et la bibliographique mathématique Poincaré, grand-père des mathématiques financières ? Et aussi Nouvelle « Les lapins du chaos » Notes de lectures Mathématiques récréatives Coctail EXO-TIC Solutions Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves !

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SOMMAIRE Dossier : Les groupes Groupes et équations Un groupe est une structure où certaines règles de calcul sont valides. En particulier, les parenthèses sont inutiles et les équations ont des solutions. Pour obtenir ces règles, quelle est la meilleure définition à donner aux groupes ? Hyperpolyèdres et groupes de quaternions Les quaternions offrent un magnifique pont entre l'algèbre des groupes et la géométrie des polyèdres. Ici,, nous allons considérer quelques hyperpolyèdres et mettre en évidence les caractéristiques des groupes auxquels ils correspondent, ainsi que des éventuels sous - groupes engendrés par leurs intersections avec des hyperplans de l'espace de dimension4. Les groupes en cryptographie Un certain nombre de données doivent être cryptées pour voyager sans qu'une interception présente de risque. Pour cela, on utilise des méthodes de codage qui font intervenir des groupes finis. La structure des mousses Les mousses, solides issus de la rencontre d'un liquide et d'un gaz, sont des objets surprenants à plus d'un titre. L'étude de leur structure se ramène à la résolution de problèmes de géométrie. C'est aussi l'occasion de passer d'un système physique à sa modélisation numérique. Lutter contre les spams Comment rejeter les courriers électroniques non sollicités sans perdre de messages ?, La solution la plus efficace à l'heure actuelle repose sur l'utilisation d'un théorème de mathématiques : le théorème de Bayes. Les géométries non euclidiennes La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Cette conséquence su postulat d'Euclide a longtemps semblé une évidence. Pourtant, il existe des géométries où cette somme est inférieure ou supérieure à 180°. Et aussi Mathématiques récréatives, En bref, Belles preuves, Erreurs et paradoxes, Exercices, Avis de recherche, Agenda et solutions

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SOMMAIRE Les angles corniculaires et l'infiniment petit La notion d'angle est moins élémentaire qu'on peut le penser et a été introduite de différentes manières suivant les époques. L'étude des angles entre deux droites est délicate. Celle des angles que délimitent les courbes entre elles mène à la notion d'infiniment petit. Dossier : Géométries non - euclidiennes Repenser le cube avec la géométrie projective La géométrie projective va permettre de reconsidérer les figures euclidiennes dont nous avons l'habitude, comme le cube, comme des cas particuliers de figures projectives. Nous verrons ici comment on passe des premières aux dernières et comment certaines propriétés se conservent lors de ce passage. La spectroscopie laser Les lasers ont permis de nombreuses avancées en métrologie, comme par exemple l'adoption d'une nouvelle définition du mètre. Les lauréats de la seconde moitié du prix Nobel de Physique 2005, John Hall et Theodor Hänsch, ont grandement contribué à ces progrès. Et aussi En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Pistes de solutions Note de lecture

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SOMMAIRE Construction avec des fils Dans l'Himalaya, les tabourets sont encadrés par deux hyperboles. D'ou viennent-elles’ Leur construction en osier se généralise et donne les surfaces réglées, que l'on trouve souvent en architecture. Question de dimension Une surface est un objet de dimension deux. Mais comment définition la notion de dimension’ Découpage d'un polygone régulier en losanges Les polygones réguliers sont l'objet d'études depuis plusieurs milliers d'années. De façon étonnante, personne ne semble s'être jamais intéressé à les découper en losanges. Dessiner une surface fractale Les surfaces fractales peuvent engendrer de très belles images, mais une méthode adaptée est nécessaire pour les dessiner correctement. Graveur de bouteilles Le graveur Patrice Jeener s'est spécialisé dans la gravure de surfaces mathématiques. Outre leur côté esthétique, elles ont une histoire... mathématique, elle aussi. Les cercles d'Apollonius et les cyclides de Dupin Le mathématicien, ingénieur, homme politique et néanmoins baron français Pierre Charles François Dupin (1784-1873), a été l'un des plus brillants élèves de Monge. Généralisant un problème fertile, il inventa de nouvelles surfaces, les cyclides. Trianguler une surface Pour représenter une surface, le plus simple est de la décomposer en petits triangles et d'utiliser une projection centrale. Cette décomposition permet de la mouvoir ou de la transformer. Lignes tracées sur une surface Pour se déplacer sur une surface, on suit une courbe. Si l'on s'impose de rester à la même altitude, il s'agit des lignes de niveaux. Avec d'autres contraintes, nous obtenons lignes de plus grandes pentes, loxodromie ou géodésiques... Le tore à collier Le tore à collier est la surface engendrée par rotation d'un cercle autour d'un axe ne le coupant pas. Par chacun de ses points, il passe exactement quatre cercles. Il est également à l'origine d'une classification des surfaces. L'eau qui ne mouille pas Quelques expériences qualitatives à la surface d'un liquide mettent en évidence diverses forces, et des phénomènes a priori étranges. Les hologrammes Comment les ondes lumineuses permettent-elles d'enregistrer et restituer fidèlement les surfaces d'objets tridimensionnels ? Les forces de friction Pourquoi un cheval ne peut-il se défaire d'un nœud d'attache simple pourtant si facile à enlever par le cavalier? La réponse tient dans les forces de friction. Et aussi Mathématiques récréatives, Nouvelle d'une taupe modèle, En bref, Belles preuves Avis de recherche, Solutions et Bibliographie

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SOMMAIRE Dossier : La topologie La forme des boules Pour la norme des oiseaux, toutes les boules sont rondes. Pourtant, on en rencontre des carrées. De manière générale, quelques propriétés permettent de caractériser une boule. Normes et distances en statistique Les notions de médiane et de moyenne d'une série statistique correspondent à la même idée de minimisation appliquée à deux normes différentes. Ces deux notions s'avèrent précieuses dans bien des cas concrets. Démonstration d'existence par compacité Les démonstrations d'existence sont une spécificité des mathématiques: comment établir qu'un objet existe sans en exhiber un seul ? La compacité est l'un des outils qui le permet. Dossier : Coïncidences Les probabilités montrent qu'il est fréquent de trouver deux individus nés le même jour de l'année dans une assemblée d'une trentaine de personnes. La généralisation de ce résultat, surprenant pour le grand public, permet de prévoir bon nombre de coïncidences encore plus troublantes ... par un simple calcul mental! Dossier : Les mariages stables Former, à partir d'un certain nombre d'hommes et de femmes, les couples les plus stables possibles, c'est possible grâce à des algorithmes tenant compte des préférences de chacun. Ceux-ci sont aussi utilisés, pour affecter les élèves dans les classes préparatoires aux Grandes Écoles. Calculs à la mode d'Euler Pour calculer la somme des inverses des carrés des nombres entiers, Euler utilisait une méthode aujourd'hui oubliée. Pourtant, elle est toujours féconde et permet de trouver de nouveaux résultats. Superfluidité et superconductivité A base température, certains métaux ont une résistance nulle. Ce phénomène porte le nom de supraconductivité. De même, la viscosité des liquides peut devenir nulle à basse température : c'est la superfluidité. Et aussi En bref, Belles preuves, Erreurs et paradoxes, Mathématiques récréatives, Exercices, Avis de recherche, Agenda et Pistes de solutions

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SOMMAIRE Dossier : Le continu et le discret Linéarité et interpolation L'interpolation d'un nuage de points par une fonction peut se faire de diverses manières : fonctions affines par morceaux, polynômes, splines, etc. Discrétiser des équations Quand une équation différentielle linéaire n'admet pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, une idée est de remplacer la fonction inconnue par un tableau de valeurs, l'équation différentielle devient alors un système linéaire. Échantillonnage et théorème de Shannon Le numérique consiste à transformer un signal analogique en une séquence de nombres pour le stocker sur un support comme les CD ou DVD. Comment restituer ensuite le signal original’ Des sigmoïdes en chimie Plutôt que d'interpoler des résultats d'expériences linéairement ou par des polynômes, on peut ajuster une fonction "élémentaire" ayant des propriétés semblables à celles des valeurs observées. Modélisation de phénomènes périodiques Pour modéliser des phénomènes périodiques, il n'est pas question d'utiliser une interpolation linéaire. Il vaut mieux privilégier les fonctions périodiques, comme par exemple la fonction sinus. Dossier : Partage d'un gâteau Pour ne pas provoquer de jalousie, le partage d'un gâteau est un art cultivé dans les familles nombreuses. Voyons ici une méthode permettant de satisfaire au mieux tous les convives... Dossier : L'inextricable simplicité de l'Internet L'Internet est fondé sur des principes très simples. Cependant, avec ses millions d'ordinateurs connectés et ses kilomètres de câbles de toutes sortes, il est d'une inextricable complexité. Et aussi En bref, Belles preuves, Erreurs et paradoxes, Mathématiques récréatives, Exercices, Avis de recherche, Agenda et Pistes de solutions

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SOMMAIRE L'hexagramme mystique Blaise Pascal a découvert une propriété surprenante des hexagones inscrits dans les coniques. Pourquoi la qualifia t-il d'hexagramme mystique? Les fractions égyptiennes A l'exception des fractions 2/3 et 3/4 pour lesquelles il existait une notation particulière, les Égyptiens de l'époque pharaonique n'utilisaient que des fractions de numérateur 1. Toute fraction autre devait se décomposer en une somme de fractions de numérateur 1 et de dénominateurs tous différents, qu'on appelle depuis des "fractions égyptiennes". Gamma : une fonction pour bêtas La fonction factorielle se définit naturellement sur les nombres entiers positifs. Comment se généralise-t-elle aux nombres réels et même au-delà? La réponse tient en un peu de calcul intégral. La formule de Stirling La formule de Stirling peut être démontrée de plusieurs manières. En voici deux preuves presque naturelles quand on connaît les intégrales de Wallis, de Gauss et la fonction Gamma. Et aussi En bref / Belles preuves / Erreurs et paradoxes / Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Dossier : Les erreurs La naissance paradoxale de la théorie des ensembles L'étude des séries de Fourier à la fin XIXème siècle a provoqué la naissance de la théorie des ensembles. Elle a montré que les mathématiques d'alors étaient sur du sable. Leurs fondations sont- elles plus solides de nos jours ? La conjecture de Poincaré Une erreur de Poincaré sur les objets géométriques non représentables dans l'espace de dimension 3 fonde la topologie moderne. En se penchant sur ce fameux énoncé, on redécouvre la notion de variété, et on s'intéresse en particulier aux propriétés des variétés compactes et connexes. L'évolution du modèle atomique Le cheminement intellectuel, qui a permis aux hommes de décrire la matière comme un ensemble d'atomes, de modéliser ces derniers pour les appréhender par la pensée, a été parsemé d'erreurs, de remises en causes et de bouleversements successifs. Abel et le retour de la rigueur La rigueur a été la clef de voûte des apports mathématiques du XIXème siècle. Mais à cette époque, elle n'allait pas de soi et ses défenseurs durent batailler pour l'imposer. Un des "architectes" à la traquer sans relâche fut Niels Henrik Abel. La courbe des lignes haute tension Les lignes hautes tension, comme certains bijoux qui pendent au cou des personnes élégantes, sont en forme de chaînettes. Tous ces objets nous offrent l'occasion d'observer quotidiennement le cosinus hyperbolique. Et aussi Mathématiques récréatives, Actualités de la recherche, Erreurs et paradoxes, Belles preuves, Exercices, Avis de recherche, Agenda et Pistes de solutions

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SOMMAIRE Points de vue sur les fonctions La notion de fonction peut être vue de plusieurs façons. Chacune est utile pour en comprendre la subtilité. Le cube hongrois Inventé par l'ingénieur hongrois Erno Rubik dans les années 1970, le Rubik's cube connaît un véritable succès planétaire dans les années 1980. Tombé un peu dans l'oubli ensuite, il revient au goût du jour depuis quelques années avec de nouveaux cubes 4 X 4 X 4, 5 X 5 X 5, 6 X 6 X 6 et même 7 X 7 X 7. La complexité algorithmique La résolution de certains problèmes passe par l'utilisation d'algorithmes. Dans cet article on aborde la question de la complexité algorithmique, une modélisation mathématique de leur temps d'exécution. L'effet papillon L'effet papillon est revenu à la mode. Des laboratoires de météorologie, il est passé à la chanson. La métaphore s'est appauvrie au passage. Retour aux origines d'une expression poétique. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes En bref Avis de recherche Solutions

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Sommaire Similitude et analogie pour résoudre un problème Un problème semble insoluble. Soudain, il se révèle semblable à un autre, que l'on sait résoudre et tout s'éclaircit. Cette analogie peut rester confinée à ce niveau heuristique, elle peut également déboucher sur une nouvelle structure. Un air de similitude Les propriétés de figures géométriques planes ne dépendent pas de leur taille. Ceci est une caractéristique de la géométrie d'un espace euclidien. Le programme d'Erlangen de Felix Klein définit ainsi la géométrie euclidienne comme invariante par le groupe des similitudes. Permanence de la similitude Un résultat classqiue d'algèbre linéaire affirme que deux matrices réelles semblables en tant que matrices complexes le sont également en tant que matrices réelles. Ce résultat qui n'a rien d'évident se généralise pourtant a des applications intéressantes en algèbre. Et aussi Notes de lecture En bref Nouvelle Solutions

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SOMMAIRE Dossier : Le calcul La méthode des éléments finis La décomposition d'une règle en une suite de tiges rigides reliées par des ressorts fournit un modèle de calcul performant pour évaluer sa déformation. Ce modèle se généralise de façon étonnante à toutes sortes de situations pour donner la méthode des éléments finis. Les fonctions des calculatrices Les calculatrices scientifiques modernes n'emploient pas les méthodes de calcul utilisées au temps des tables de logarithmes. Elles privilégient les additions et les soustractions, plus économiques en temps que les autres opérations. Le calcul à hautes performances Les calculs à haute performance ne sont pas seulement l'affaire de super - calculateurs. Des myriades de petits ordinateurs peuvent mettre leurs ressources en commun. La gestion des tâches devient alors l'un des problèmes essentiels du calcul. Des règles et des motifs pour calculer Le langage Mathematica offre un procédé de programmation extrêmement élégant : l'emploi des notions de "règle et de motif". Le mélange des deux fournit de puissantes possibilités de programmation. Dossier : Ombres de lumière Lorsque le cône de lumière d'un abat- jour rencontre un mur, il se forme une ombre elliptique, hyperbolique ou parabolique. Très peu de calculs sont nécessaires pour déterminer cette forme. Dossier : Force et liberté dans le monde des quarks L'existence des quarks, particules constituant le proton et le neutron, a été prédite dès les années 1950. Pourtant toutes les expériences destinées à produire un quark isolé ont échoué. Les lauréats du prix Nobel de Physique 2004 ont été les premiers à comprendre et à expliquer pourquoi. Et aussi En bref, Belles preuves, Mathématiques récréatives, Erreurs et paradoxes, Notes de lecture, Exercices, Avis de recherche, Agenda et Pistes de solutions

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SOMMAIRE Extensions de l'exponentielle En utilisant son développement en série entière, on peut étendre la fonction exponentielle non seulement aux nombres complexes mais également aux matrices carrées. Des équations pour décrire la lumière Depuis le XXème siècle et l'optique quantique, la lumière n'est plus vue seulement comme une onde mais comme possédant aussi les propriétés d'une particule quantique. De nombreuses applications, comme les lasers par exemple, découlent de cet aspect. Dossier : Les surfaces Surfaces algébriques, rétrospective et perspectives Depuis le début du XVIIIème siècle, on étudie les surfaces algébriques d'une multitude de façons: en cherchant à déterminer leur équation, en s'intéressant aux courbes qui les engendrent, en observant leurs propriétés de symétrie, leurs caractéristiques topologiques ou les contraintes géométriques auxquelles elles répondent. Et aussi En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Mathématiques récréatives Avis de recherche Pistes de solutions