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SOMMAIRE L'hexagramme mystique Blaise Pascal a découvert une propriété surprenante des hexagones inscrits dans les coniques. Pourquoi la qualifia t-il d'hexagramme mystique? Les fractions égyptiennes A l'exception des fractions 2/3 et 3/4 pour lesquelles il existait une notation particulière, les Égyptiens de l'époque pharaonique n'utilisaient que des fractions de numérateur 1. Toute fraction autre devait se décomposer en une somme de fractions de numérateur 1 et de dénominateurs tous différents, qu'on appelle depuis des "fractions égyptiennes". Gamma : une fonction pour bêtas La fonction factorielle se définit naturellement sur les nombres entiers positifs. Comment se généralise-t-elle aux nombres réels et même au-delà? La réponse tient en un peu de calcul intégral. La formule de Stirling La formule de Stirling peut être démontrée de plusieurs manières. En voici deux preuves presque naturelles quand on connaît les intégrales de Wallis, de Gauss et la fonction Gamma. Et aussi En bref / Belles preuves / Erreurs et paradoxes / Avis de recherche Solutions

Description de l'éditeur Vous avez entre les mains le numéro de Tangente 49 de Tangente SUP. Le prochain, Tangente SUP 50, ne paraîtra qu'en septembre. Le suivant numéroté 51-52, sera un numéro double consacré au thème des TIPE retenu pour la rentrée 2009 : les surfaces. N'oubliez pas par ailleurs de vous réabonner dans les temps afin de le recevoir! Nous ferons notre possible pour l'envoyer fin octobre, afin que les enseignants et leurs élèves puissent l'utiliser au plus vite.

La rédaction

SOMMAIRE

La ronde des quintes

La gamme majeure comporte sept notes choisies parmi les douze que compte la gamme chromatique. Ces deux nombres, 12 et 7, ne doivent rien au hasard mais à des questions géométriques.

Translations musicales

L'utilisation des transformations géométriques ne se limite pas aux mathématiques ou arts plastiques. Nous retrouvons les translations en musique, dans les canons.

Mensualisation et inflation

L'inflation suit une loi géométrique, pas une loi arithmétique, ce qui n'empêche pas les calculs... arithmétiques.

Et aussi

Mathématiques récréatives
En bref
Belles preuves
Erreurs et paradoxes
Avis de recherche
Solutions

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SOMMAIRE Nombre de partitions d'un nombre entier De combien de manières peut-on partager un entier? Le problème peut sembler simple. Pourtant, il comporte encore bien des questions ouvertes. Désignation des élus au sein d'un parti Dans nos régimes démocratiques, le suffrage universel reconnaît le droit de vote à chaque électeur, sans aucune discrimination : ainsi, le "peuple souverain" est amené à désigner ceux qui le représenteront pour un mandat déterminé. A cet effet, plusieurs systèmes électoraux existent. Certains pays adoptent un système majoritaire: l'avantage est accordé à un parti en particulier, son adversaire formant ce qui est appelé " l'opposition". D'autres nations optent pour un système proportionnel : la présence de plusieurs partis est privilégiée de manière à mieux traduire les sensibilités des électeurs. En plus de cette différence de systèmes, de nombreuses règles peuvent être élaborées pour amener un bon fonctionnement de la gouvernance. La cryptographie appliquée au vote électronique Le vote électronique-éventuellement par Internet-est un moyen de réduire le coût des élections, et de réduire l'abstention. Le problème : peut-on s'y fier? Et aussi Mathématiques récréatives En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Construction avec des fils Dans l'Himalaya, les tabourets sont encadrés par deux hyperboles. D'ou viennent-elles’ Leur construction en osier se généralise et donne les surfaces réglées, que l'on trouve souvent en architecture. Question de dimension Une surface est un objet de dimension deux. Mais comment définition la notion de dimension’ Découpage d'un polygone régulier en losanges Les polygones réguliers sont l'objet d'études depuis plusieurs milliers d'années. De façon étonnante, personne ne semble s'être jamais intéressé à les découper en losanges. Dessiner une surface fractale Les surfaces fractales peuvent engendrer de très belles images, mais une méthode adaptée est nécessaire pour les dessiner correctement. Graveur de bouteilles Le graveur Patrice Jeener s'est spécialisé dans la gravure de surfaces mathématiques. Outre leur côté esthétique, elles ont une histoire... mathématique, elle aussi. Les cercles d'Apollonius et les cyclides de Dupin Le mathématicien, ingénieur, homme politique et néanmoins baron français Pierre Charles François Dupin (1784-1873), a été l'un des plus brillants élèves de Monge. Généralisant un problème fertile, il inventa de nouvelles surfaces, les cyclides. Trianguler une surface Pour représenter une surface, le plus simple est de la décomposer en petits triangles et d'utiliser une projection centrale. Cette décomposition permet de la mouvoir ou de la transformer. Lignes tracées sur une surface Pour se déplacer sur une surface, on suit une courbe. Si l'on s'impose de rester à la même altitude, il s'agit des lignes de niveaux. Avec d'autres contraintes, nous obtenons lignes de plus grandes pentes, loxodromie ou géodésiques... Le tore à collier Le tore à collier est la surface engendrée par rotation d'un cercle autour d'un axe ne le coupant pas. Par chacun de ses points, il passe exactement quatre cercles. Il est également à l'origine d'une classification des surfaces. L'eau qui ne mouille pas Quelques expériences qualitatives à la surface d'un liquide mettent en évidence diverses forces, et des phénomènes a priori étranges. Les hologrammes Comment les ondes lumineuses permettent-elles d'enregistrer et restituer fidèlement les surfaces d'objets tridimensionnels ? Les forces de friction Pourquoi un cheval ne peut-il se défaire d'un nœud d'attache simple pourtant si facile à enlever par le cavalier? La réponse tient dans les forces de friction. Et aussi Mathématiques récréatives, Nouvelle d'une taupe modèle, En bref, Belles preuves Avis de recherche, Solutions et Bibliographie

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SOMMAIRE Les fonctions de hachage Comment savoir si un document a été transmis intégralement’ Une réponse est de lui associer une signature, que l'on nomme aussi empreinte. Celle-ci peut s'obtenir par hachage. Les mathématiciens, tous platoniciens’ Comme Platon, les mathématiciens sont des créateurs de mondes. Un exemple dû au philosophe grec est le monde issu du mythe de la caverne. Doit-on autant considérer tous les mathématiciens comme platoniciens’ Détermination intrinsèque d'un plan tangent Une surface étant donnée par le relevé de ses lignes de niveaux, comment en déterminer les plans tangents’ Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle d'une taupe modèle En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Dessiner une hypershère La conjecture de Poincaré porte sur les hypersphères, qui généralisent à l'espace de dimension quatre les sphères de l'espace de dimension trois. Comment les représenter? Détection des bords d'une image Une image étant donnée, comment détecter les contours des objets qui s'y trouvent? A travers notre cerveau, l'œil sait le faire instantanément, mais comment enseigner cet art à un ordinateur? Pour commencer, comment définir ce qu'est un contour? Quand les tangentes étaient touchantes Avant l'invention du calcul infinitésimal, un savant liégeois, René de Sluse, inventa le premier algorithme connu de détermination de la tangente à une courbe. Le Sunakia Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique... Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes En 1881, Henri Poincaré affirme : "Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes", ce qui généralise les idées qu'exprime Félix Klein sur la géométrie dans le programme d'Erlangen. La dualité entre l'amour et les maths Le mathématicien Edward Frenkel a réalisé, en collaboration avec Reine Graves, un film étonnant, Rites d'amour et de maths, en hommage à Yûkoku (Rites d'amour et de mort) de Yukio Mishima. Esthétiquement parfait, il intriguera ceux qui imaginent les mathématiques comme le contraire absolu de l'art et de la poésie. Il en inquiétera d'autres ... Un bouquet d'ellipses pour retourner la sphère François Apéry a remporté le concours Art et Maths 2010 de Tangente avec une construction de la surface de Morin, étape intermédiaire du retournement de la sphère, en bouquet d'ellipses. Comment l'a-t-il réalisée? Le Sunakia Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique... Et aussi Mathématiques récréativités En bref Nouvelle Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE L'art de la modélisation mathématique Pour être passible de calculs, le réel a besoin d'être modélisé. Le danger est alors d'oublier la différence entre la réalité et son modèle. Arbres de Steiner sur échiquier Le premier article de Martin Gardner dans une revue mathématique avec comité de lecture porte sur les arbres de Steiner. Nous en proposons ici une adaptation raccourcie, dans l'esprit de Tangente Sup. La similitude : une notion intrinsèque Deux matrices réelles semblables sur le corps? Des complexes le sont aussi sur le corps? Des réels. Ce résultat a des conséquences théoriques importantes. Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle Avis de recherche Solutions Belles preuves Erreurs et paradoxes Note de lecture

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SOMMAIRE La longue naissance des groupes Les groupes sont souvent vus comme une création d'Évariste Galois. Cependant, des précurseurs et des continuateurs ont œuvré pour que la notion de groupe, telle qu'on la connaît aujourd'hui, soit dégagée. Les groupes finis Un groupe est fini quand il ne possède qu'un nombre fini d'éléments. Cette caractéristique lui confère de nombreuses propriétés. Par exemple, les cardinaux du groupe et des sous-groupes sont liés. Permuter des cubes Les permutations d'un objet symétrique forment un groupe. Les résultats sur les permutations peuvent être vus simplement en jouant avec des cubes. Ils sont alors très naturels. Le groupe de Klein Pourquoi les mathématiques sont-elles si efficaces dans tant de domaines différents ? Peut-être car elles s'intéressent aux structures entre les objets étudiés et sont dès lors générales et unificatrices. Comment définir les groupes abstraits Les premiers groupes considérés par Galois sont des groupes de permutations. En 1854, Arthur Cayley est le premier à en donner une définition axiomatique. Comment a-t-il fait ? Loi de groupe sur une cubique L'intersection d'une cubique et d'une droite est formée de trois points. Cette propriété simple permet de définir une loi de composition interne sur la courbe. Cette loi définit en général un groupe... Groupes de Lie et équations différentielles Depuis plus d'un siècle, Sophus Lie a établi une méthode systématique pour trouver les solutions analytiques, quand elles existent, d'une équation différentielle. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes Notes de lecture En bref Avis de recherche Nouvelle Mathématiques récréatives Solutions

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SOMMAIRE Écrire sur une sphère Une partie du métier de cartographe consiste à écrire sur un plan ce qui est inscrit sur une sphère. Comment exécuter l'opération inverse? Il existe plusieurs façons d'écrire sur une sphère ce que, d'ordinaire, nous écrivons sur un plan. L'art, la nature, et les variations en 1/f L'art, la nature, et les variations en i/f Une étude récente semble prouver que les séquences des films hollywoodiens sont réparties suivant une loi dite « en 1/f». Cette distribution spectrale a déjà été observée en physique, en biologie, dans de nombreuses œuvres d'art et semble liée au fonctionnement du cerveau. Son universalité reste toutefois à expliquer. Et aussi : En bref Mathématiques récréatives Nouvelle Avis de recherche Belles preuves Erreurs et paradoxes Solutions

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Sommaire Une algèbre pour comprendre les structures atomiques En mathématiques, l'algèbre de Grassmann est une algèbre inhabituelle car son produit, appelé produit de Grassmann ou produit extérieur et noté ^ , est non-commutatif. Même le feu est régi par les nombres Jean-Baptiste Joseph Fourier est connu pour avoir introduit une équation aux dérivées partielles fondamentale : l'équation de la chaleur. Il peut être considéré comme le fondateur de la physique mathématique. Et aussi : En bref et notes de lectures Mathématiques récréatives Histoire d'eau Cocktail EXO-TIC Belles preuves Erreurs et paradoxes Solutions

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Sommaire Images : la compression par réduction En informatique, une image se traduit par une matrice d'où l'idée de compresser l'image en réduisant sa matrice, en utilisant la notion de valeur singulière. Mathématiques, informatique, imagerie : quand compression et réduction de matrice vont de pair Les matrices au service de la communication Les messages transmis peuvent arriver avec des erreurs. Comment le savoir ? Comment les corriger ? Les réponses tiennent dans des codes dont le premier dû au mathématicien américain Richard Hamming. En fait, les matrices sont au cœur des codes correcteurs d'erreur. Décomposition du vecteur des productions en analyse input-output Chaque secteur d'activité a des entrées et des sorties. Sur l'ensemble, cela crée une matrice dont les économistes se servent pour déterminer les productions des différents secteurs en tenant compte de tous les échanges intersectoriels ainsi que les commandes externes. Diagonalisation et puissances Le calcul de puissance de matrices peut sembler un simple exercice lié à la diagonalisation. Pourtant, les applications sont nombreuses : calcul de limites, détermination de comportements asymptomatiques On les trouve en particulier dans le classement des pages par Google. Et aussi Notes de lecture Mathématiques récréatives Nouvelle : La matrice désespérante Belles preuves Erreurs et paradoxes Cocktail EXO-TIC Solutions

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Sommaire Similitude et analogie pour résoudre un problème Un problème semble insoluble. Soudain, il se révèle semblable à un autre, que l'on sait résoudre et tout s'éclaircit. Cette analogie peut rester confinée à ce niveau heuristique, elle peut également déboucher sur une nouvelle structure. Un air de similitude Les propriétés de figures géométriques planes ne dépendent pas de leur taille. Ceci est une caractéristique de la géométrie d'un espace euclidien. Le programme d'Erlangen de Felix Klein définit ainsi la géométrie euclidienne comme invariante par le groupe des similitudes. Permanence de la similitude Un résultat classqiue d'algèbre linéaire affirme que deux matrices réelles semblables en tant que matrices complexes le sont également en tant que matrices réelles. Ce résultat qui n'a rien d'évident se généralise pourtant a des applications intéressantes en algèbre. Et aussi Notes de lecture En bref Nouvelle Solutions

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Henri Poincaré nous a quittés il y a cent ans. Un siècle après sa mort, nous continuons à découvrir des applications extraordinaires de ses travaux en mathématiques et en physique théorique. Ses ouvrages de philosophie continuent d'influencer les thèses épistémologiques actuelles. Il fut le dernier savant universel de son temps : en plus d'être un mathématicien de tout premier plan, dont les découvertes sont loin d'avoir été toutes exploitées, Henri Poincaré a contribué de manière décisive à toutes les branches de la science du début du XXe siècle. Travailleur infatigable, il fut en outre un ingénieur, un philosophe, un brillant pédagogue, et un citoyen engagé. Enfin, signe qui ne trompe pas : ses erreurs scientifiques furent fécondes et sources de nombreuses nouvelles découvertes. C'est l'apanage des plus grands. Sommaire Henri Poincaré Poincaré, l'autre prince des mathématiques Les concours de Poincaré La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré Poincaré et l'Affaire Dreyfus Le problème des trois corps La théorie du chaos Promenons-nous dans le disque de Poincaré Les travaux de Poincaré en topologie algébrique La conjecture de Poincaré Le groupe fondamental Le premier article américain de Poincaré Henri Poincaré et la bibliographique mathématique Poincaré, grand-père des mathématiques financières ? Et aussi Nouvelle « Les lapins du chaos » Notes de lectures Mathématiques récréatives Coctail EXO-TIC Solutions Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves !

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Dossier : L'exponentielle La fonction exponentielle: premières propriétés L'exponentielle comme polynôme de degré Infini Exponentielles de matrices Des nouvelles solutions au problème des trois corps Chaines de Markov cachées et algorithme de Viterbi Chaines de Markov et prévisions Et aussi En bref Nouvelle « Navettes spéciales" Coctail EXO-TIC Mathématiques récréatives Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves ! Notes de lecture Solutions

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SOMMAIRE Résoudre une équation différentielle "Résoudre l'équation différentielle x(x+1)y'(x) + 3xy(x)=1." Qu'est-ce que cela signifie exactement? Faut-il en proposer un calcul numérique? L'évolution temporelle d'un stock Des équations différentielles permettent de caractériser l'évolution du niveau des stocks, ce qui a des applications en logistique, mais pas seulement! La morphogenèse Comment se répartissent les taches sur la peau d'un léopard? En quel point d'une tige végétale émergera un bourgeon? C'est l'ambition de la morphogenèse de simuler, voire aussi d'expliquer, ces phénomènes. La dérivation fractionnaire Les notions de puissance et de factorielle ont été généralisées avec succès sur les nombres réels. De même, une dérivation non entière peut être définie. Les suites différentielles La reconnaissance de structures calculatoires identiques permet de faire des analogies entre des domaines souvent vus comme différents. C'est le cas de certaines suites et équations diférentielles. Et aussi Notes de lecture En bref La révolution HP Prime Nouvelle Mathématiques récréatives Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves! Cocktail EXO-TIC Et Solutions

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SOMMAIRE Les formes quadratiques Les formes quadratiques, c'est-à-dire les fonctions de degré 2 des coordonnées, jouent un rôle fondamental tant en algèbre qu'en géométrie. D'où viennent-elles et qui sont-elles? Les coniques : ellipse, parabole, hyperbole L'intérêt pour les coniques a commencé dans l'Antiquité avant même qu'Apollonius les unifie comme sections planes d'un cône. Mais le plus étonnant reste leur intervention dans le monde concret : mécanique céleste balistique, optique et même acoustique. Réduction des coniques et des quadriques Quelle est la forme d'une quadrique, c'est-à-dire d'une surface du second degré? La réponse complète s'obtient à l'aide de quelques transformations affines et d'un répertoire de formes simples. Formule de Taylor de formes quadratiques La formule de Taylor fournit une estimation locale de la valeur d'une fonction au voisinage d'un point par celle d'un polynôme. Dans le cas de plusieurs variables, des formes quadratiques apparaissent. Maple, Fermat, les trois corps et le Gömböc La sortie récente de Maple 18 est l'occasion de revenir sur quelques utilisations récentes de ce moteur canadien. Et aussi Ah, les belles preuves! Erreurs et paradoxes Mathématiques récréatives Nouvelle " Le confessionnal des matheux" En bref Cocktail EXO-TIC Et Solutions

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SOMMAIRE Dossier : "La transformée de Fourier" Résoudre l'équation de la chaleur Les séries de Fourier et la transformée de Fourier permettent la résolution d'équations différentielles. Elles proviennent du même problème physique. Le problème de Didon Quel est le plus grand terrain que l'on puisse entourer avec une corde donnée ? La réponse à ce problème isopérimétrique fait intervenir les séries de Fourier et la formule de Parseval. Améliorer la compression d'images avec les ondelettes L'analyse de Fourier permet de comprimer les images et les sons en ne tenant compte que des principales harmoniques. Les ondelettes permettent une amélioration significative de cette méthode. Multiplier vite et bien grâce à Fourier Certains algorithmes ou méthodes de cryptographie demandent d'effectuer des multiplications de nombres de plusieurs centaines de chiffres. Comment effectuer ces calculs colossaux en temps raisonnable? Le principe d'incertitude La théorie de Fourier permet de regarder un signal sous deux aspects: temporel et fréquentiel. Cette dualité permet de formuler un principe d'incertitude, qui ouvre la voie à la mécanique quantique. Et aussi En bref Nouvelle « les premiers seront les derniers» Mathématiques récréatives cocktail EX0-TIC Ah, les belles preuves! Et Solutions

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7 tangram shapes, endless combinations Profitez des différentes règles de ce jeu pour jouer soit en solitaire avec sept ou quatorze pièces soit en face à face avec sept pièces de couleur différentes chacun ! Niveau débutant Âge: 5+ Défis: 54 Avis des experts Jouer Tangoes Starter stimule les compétences cognitives suivantes: Résolution de Problèmes, Intelligence Spatiale, Perception Visuelle

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Présentation de l'éditeur Depuis maintenant des milliers d'années, nous collectons de l'information (recensements...) et utilisons des algorithmes (en cuisine, notamment !). Mais récemment, la récolte a littéralement explosé : les technologies numériques nous permettent de créer, de stocker et de transformer l'information. Ordinateurs personnels, professionnels, objets connectés, réseaux sociaux... Chacun de nous contribue activement, et quotidiennement, à façonner un nouveau continent : la terra data. Faut- il uniquement en avoir peur ? Quels sont les risques ? Point de fatalisme ! Cet ouvrage nous invite à agir pour une utilisation des données plus responsable et humaniste : le numérique n'est pas réservé aux experts, c'est un sujet de société. Utilisateurs, associations, ingénieurs, entreprises, enseignants : la mobilisation de tous est requise. Un numérique démocratique et solidaire est possible, à nous de nous en emparer ! Biographie de l'auteur Serge Abiteboul, directeur de recherches à l'INRIA (Institut de recherche en informatique et en automatique), est le commissaire scientifique de l'exposition Terra Data qui ouvrira à la Cité des Sciences le 7 avril 2017. Il tient également un blog hébergé sur lemonde.fr : Binaire. L'informatique au coeur du numérique. Valérie Peugeot est chercheur à Orange Labs, en charge des questions de prospective au sein du laboratoire de sciences humaines et sociales.

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Henri Camous (Auteur) Vivant et pratique, ce guide vous introduit à l'univers mystérieux et passionnant des tests d'intelligence. Suites numériques, suites verbales, tests de mémoire, manipulation de solides, jeux de dominos, tous ces tests pratiqués régulièrement lors de recrutements sont expliqués et déclinés pour proposer un entraînement efficace et ludique. Testez votre intelligence et développez de nouvelles aptitudes ! Marque éditoriale : ORGANISATION Collection : Les p'tits LUS Santé et Bien-être (santé physique et mentale, hygiène, sexualité, psychologie, pédagogie, enfants) Texte en français 9782212543971

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Les amateurs de tous niveaux pourront ainsi se divertir grâce aux centaines d'exercices et de tests proposés par Philippe Soulet, et se perfectionner grâce aux innombrables conseils, suivis d'exemple, qui leurs sont dispensés. Solliciter leur imagination à l'enchère, leur talent à la carte et leur goût du défi au cours de plus de 70 donnes en relation avec les thèmes abordés.

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Dans chaque ouvrage de la collection Spécial Logique,la rédaction choisit un thème. Il s'agit cette fois de l'imagination, qui donne lieu à des énigmes, des tests,des jeux de figures, des jeux de mots, des jeux mathématiques... Les questions demandent d'imaginer :- la règle qui a présidé à la construction d'une suite,d'un motif... - une astuce de numérisation...- des méthodes de codage et autres correspondances entre les mots - des modes de résolution d'énigmes qui sortent des sentiers battus - l'interprétation d'un dessin.Et ce n'est pas tout ! Le lecteur est confronté à des tests de « créativité », où il faut chercher des réponses originales à des questions simples, donner des explications logiques à des situations absurdes, ou même inventer la question à partir de la réponse !Des solutions (pas forcément uniques) de tous les jeux proposés complètent l'ouvrage.

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Observation, mémoire, langue française, aptitude numérique, concentration, connaissances,... Tels sont les champs des tests qui vous sont proposés dans cet ouvrage par un des meilleurs spécialistes français, Bernard Myers, animateur de la revue " Spécial Logique ". Des centaines de questions sont ainsi regroupées en une vingtaine de tests pour des heures de plaisir ludique. Ces questions constitueront une base d'entraînement efficace en vue de passer des tests de type QI de recrutement ou d'entrée dans certaines écoles. Mais elles passionneront également tous les publics de joueurs intéressés par la logique et désireux de se distraire ou d'évaluer " gratuitement "' leurs compétences logiques.