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Dossier 1 : La topologie, déformer sans déchirer Lorsqu'un objet élastique peut, quand on le déforme de manière continue sans le déchirer, prendre la forme d'un autre objet, ils ont la même structure topologique : on dit qu'ils sont homéomorphes. Une sphère et un cube (tous les deux creux) sont homéomorphes, mais ils ne le sont pas avec un tore. La topologie apporte un complément fondamental à l'analyse et aux définitions de limite ou de continuité, en introduisant une nouvelle notion : la compacité. Qu'est-ce que la topologie ? / Les nœuds / Le ruban de Möbius / La bouteille de Klein Dossier 2 : Les systèmes de numération Compter, c'est facile au début, il y a les doigts. Mais quand les nombres deviennent plus grands ? Les civilisations ont redoublé d'ingéniosité pour permettre la reconnaissance des quantités. Ces systèmes se sont appuyés sur les alphabets ou sur des symboles nouveaux, comme les chiffres. Mais au-delà des symboles, il fallait une logique significative pour créer des systèmes qui représentent tous les entiers. La réaction naturelle a été d'utiliser le système décimal (puisque nous avons dix doigts), mais d'autres bases (c'est le cas de le dire) ont été inventées, par exemple pour définir l'heure. Plus récemment, c'est le système binaire a permis l'explosion de l'informatique. Histoire de la numération / Comment noter les grands nombres ? La numération chinoise / Le système précolombien / Le temps et les angles / L'apport de l'informatique / Nonante ou quatre-vingt-dix ? Et aussi Trophées Tangente : les palmarès 2018 / Michel Serfati et Pierre Duchet nous ont quittés / Le campylographe / Christian Lavigne : l'art numérique en 3D Et toujours Nouvelle – Récrémath – Jeux et problèmes - Notes de lecture - Mathématiques étonnantes - Courriers des lecteurs - Agenda – Solutions. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Ses deux dossiers principaux : La discontinuité L’émergence des fonctions discontinues Discontinuité et séries de fonctions Nouvelle : In Vino Mendacium Le phénomène de Gibbs Les distributions : une théorie des « fonctions généralisées » Les raisonnements circulaires Ces paradoxes qui ébranlèrent les mathématiques Autoréférence à tous les étages Les théorèmes d’incomplétude de Gödel Quelques curiosités numériques Quand les œuvres parlent d’elles-mêmes Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : La place des maths dans l'architecture Depuis l'Antiquité, les mathématiques sont un partenaire indissociable de l'architecture. Ces liens reposent aujourd'hui sur des considérations pratiques et scientifiques, mais autrefois le mysticisme jouait aussi un rôle important. Dans le domaine des proportions, l'utilisation du nombre d'or en est un exemple connu. Mathématiques et architecture au cours des siècles / Des maths au service de solutions sociales / L'architecture face aux maths / Architecture et numérique : une mathématisation de l'espace / Jean-Louis Brahem : inspiré par les maths / Les proportions de Nikos Salingaros / Buckminster Fuller, touche-à-tout de génie Dossier 2 : Les maths utilitaires en architecture L'architecture s'étend au-delà des constructions de bâtiments. Des considérations géométriques interviennent dans la conception d'infrastructures étonnantes. Les ponts, les huttes ou les échafaudages tirent leur solidité du respect de règles élémentaires de physique mathématique. La construction de navires fait appel à la mécanique pour concevoir des bateaux stables. Le métacentre an architecture navale / Le flambement du mât d'Euler / Les ponts suspendus / Tepees et échafaudages / Le cône de Greenwich Et aussi Courbes et surfaces / Courbes et surfaces architecturales / La chaînette, l'élégance faite courbe / Zaha Hadid, architecte de l'impossible / La gare de Liège-Guillemins / Quelques états du pentagone / L'hyperboloïde, ami des architectes Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les dissections Les récréations autour des découpages géométriques se retrouvent dans toutes les civilisations. Les carrés, les rectangles, les polygones et les polyminos, fournissent une mine inépuisable d'énigmes dont l'élégance réside souvent dans la simplicité. Deux figures de même aire peuvent-elles toujours être obtenues, l'une à partir de l'autre, à l'aide d'une simple paire de ciseaux ? Un théorème fameux répond à la question La géométrie des ciseaux / Les créateurs de casse-tête / Quatre auteurs pour un théorème / Découpages du carré, d'Abu al-Wafa à Dudeney / Les rep-tuiles / Paradoxes dans le monde des découpages Dossier 2 : Les pavages du plan Les pavages réguliers et les frises sont aujourd'hui catalogués de manière rigoureuse. Au XXe siècle, la théorie des groupes a en effet eu raison de leur apparente variété. Le sujet semblait à peine clos qu'on a découvert des pavages non réguliers ! Roger Penrose et Maurits Escher ont été les précurseurs de ces nouvelles mosaïques étonnantes et magnifiques dont les artistes musulmans avaient déjà entrevu les richesses. Un premier tour d'horizon / Le secret des motifs en terre d'islam / Signature et théorèmes des pavages / dix-sept groupes pour paver le plan / Les mosaïques de l'Alhambra de Grenade / Les sept types de frise Et aussi Le monde des « puzzlers » / Le Stomachion, le plus vieux puzzle du monde ! / Les pentaminos / Votre puzzle à découper Et toujours : En bref - notes de lectures- nouvelle - le robot paveur - mathématiques récréatives - problèmes - jeux de découpe -solutions. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Espaces vectoriels, histoire et axiomatique La notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIXe siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs visionnaires ont permis ce changement de point de vue en introduisant les bonnes notions de « base », de « dimension », de « déterminant », d' « application linéaire »... L'algèbre linéaire est devenue le cadre d'étude de nombreuses théories, en particulier en analyse. Aujourd'hui, avec le développement de l'outil informatique, l'algèbre linéaire s'implémente plus aisément grâce au calcul matriciel. Dossier 2 : La géométrie autrement Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Les retombées sont spectaculaires : « algébriser » la géométrie permet de revisiter la plus ancienne des sciences, de la généraliser à des contextes inattendus ou plus abstraits, de gagner en rigueur, d'adopter une démarche plus systématique et calculatoire, de repenser la notion d'espace, et de découvrir de nouveaux résultats ! Cette nouvelle « mathématique sans figures », conserve l'intuition géométrique, mais va bien au-delà... En étendant la notion de distance introduite par les espaces euclidiens, l'introduction des espaces vectoriels normés, qui permet d'élargir le champ des espaces vectoriels à l'analyse fonctionnelle, débouche sur une nouvelle moisson de résultats et d'applications. Dossier 3 : De nombreuses applications Que nous apportent les vecteurs et les espaces vectoriels au-delà d'une présence, comme toutes les structures mathématiques, un peu partout autour de nous ? Une ouverture et un enrichissement de notre approche de nombreux domaines, illustrés par quelques exemples saisissants, où ce changement a opéré une véritable révolution, accentuée par l'avènement de puissants outils de calcul ! Le « dessin vectoriel » en matière de graphisme, les sommes faramineuses de textes ou de corpus en littérature... Et Yannis Xenakis en personne a même ouvert la voie à d'intéressantes techniques « vectorielles » en matière de composition musicale... Et aussi Les mots sont des vecteurs ! / Le dessin de la toile d'araignée / Les polynômes... vus comme des vecteurs / Équations linéaires et suites récurrentes ne font qu'un! / Vectoriser une image / Les "espaces vectoriels musicaux" de Yannis Xénakis Et toujours en bref - maths récréatives - nouvelle: l'héritage extraordinaire de Papy Askilman - problèmes - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Du plan à l'espace Deux dimensions pour le plan, trois pour l'espace. Suffit-il d'extrapoler les propriétés géométriques ou topologiques du plan à l'espace pour décrire ce nouveau monde ? Pas si simple ! Si de nombreuses similitudes existent, des différences profondes séparent les deux univers, prépondérants dans notre vie de tous les jours. Tout d'abord, l'espace inclut le plan, et même une infinité de plans. On comprend que l'aller-retour soit difficile entre la description précise d'un objet de l'espace et sa représentation sur une feuille de papier. Des artistes et des mathématiciens s'y sont pourtant essayés en inventant la géométrie projective, une performance analytique qui a ses applications concrètes : on peut ainsi, à l'aide d'une sorte de « perspective inversée », retrouver à partir d'une photo les dimensions complètes d'un volume original, avec une marge d'erreur acceptable. L'espace n'est pas un bon plan / Deux mondes semblables / Les secrets des coniques / De la photo à la réalité / Une petite histoire de la géométrie projective / Quand deux droites sont toujours sécantes Dossier 2 : De la 3D à la 2D Comment rendre fidèlement compte d'un objet de l'espace sur une feuille de papier ? Une solution vient immédiatement à l'esprit, la perspective. Elle a pourtant mis des siècles à émerger. Si on a droit à plusieurs feuilles, on pense à utiliser la notion de projection, dont l'histoire est, elle aussi, mouvementée. C'est elle qui a, par exemple, donné naissance à la fameuse – et redoutée de ceux qui l'ont pratiquée – géométrie descriptive. À son tour, la « descro » a permis l'essor du dessin industriel, du trait de charpente ou encore du dessin technique. De manière plus élémentaire, on peut représenter certains objets tridimensionnels à l'aide de patrons ! Vous avez dit « élémentaire » ? Pas tant que cela ! Savez-vous qu'ils regorgent encore aujourd'hui de mystères mathématiques ? La naissance de la perspective / Les techniques de la perspective / Histoire de la géométrie descriptive / Le b.a.-ba de la géométrie descriptive / L'astronomie, la géométrie et l'espace / — Merci, patron ! Dossier 3 : Voir et construire Comment l'œil humain perçoit-il l'espace ? La conjugaison de l'observation d'un objet par les deux yeux rend-elle la réalité ? La question est loin d'être évidente. Vous avez été, comme chacun, victime d'illusions d'optique et autres trompe-l'œil. Savez-vous déceler du premier coup d'œil si un objet est réalisable ou impossible ? N'avez-vous jamais été émerveillé(e) par les anamorphoses, ces créations artistiques qui dictent à votre cerveau ce qu'il doit voir, selon la position de vos yeux ? Et si vous vous essayiez à la visualisation d'un objet en quatre dimensions ? La curieuse histoire des anamorphoses / Les objets impossibles / Les grandes illusions d'optique / Visualiser en quatre dimensions Et aussi Gaspard Monge, un géomètre révolutionnaire Et toujours en bref - note de lecture - problèmes - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Joueurs artificiels Qu'ils soient de réflexion ou de hasard, les jeux sont un terrain d'entraînement privilégié pour les algorithmes. Les victoires récentes d'un ordinateur sur les champions de go ne doivent toutefois pas tromper : l'enjeu n'est pas seulement de faire gagner la machine. Un laboratoire s'appuie sur le bridge pour développer une IA capable de gagner, et d'expliquer ce qu'elle fait. Comment simuler un comportement humain / Le bridge ouvre l'IA vers un avenir prometteur / Jeu de go : la victoire de l'esprit profond / MENACE, un ordinateur en boîtes d'allumettes Dossier 2 : Des mathématiques partout ! Nourrie de concepts qui empruntent à la logique formelle aussi bien qu'à la théorie des probabilités, l'IA est un vaste chantier qui prépare une partie significative de notre avenir. Les mathématiques y jouent, et y joueront, un rôle clé. Tous les secteurs sont concernés, de la logique aux réseaux de neurones, des probabilités aux statistiques Pallier le manque de données / Les preuves par ordinateur / Voitures autonomes et 17e problème de Hilbert / Comment l'ordinateur trie des photos Dossier 3 : Bonne intelligence au quotidien Nouvelles méthodes d'apprentissage, conseils pour jouer (y compris en bourse), traductions, aide à la décision, diagnostics, prévisions De nouvelles possibilités s'offrent à l'humain d'accroître sans cesse ses compétences. La traduction automatique / Statistiques et Big Data / IA : la finance et les marchés en raffolent / Apprentissage automatique et réseaux de neurones Et aussi Le rapport Villani sur l'IA Le député et mathématicien Cédric Villani a dirigé la rédaction d'un rapport sur l'IA, « feuille de route » sur l'actualité et l'avenir du sujet. La naissance de l'intelligence artificielle Toutes les fonctions cognitives peuvent-elles être décrites avec une précision telle qu'il serait possible de les reproduire sur des ordinateurs ? De grands concepts mathématiques sous forme informatique Les machines vont-elles remplacer l'humain ? Gérard Berry nous rassure sur un point : l'inventivité en maths n'est pas près d'être supplantée par un ordinateur. Et toujours En bref - Nouvelle : des pièces et des pesées - problèmes - notes de lecture - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Ce que les maths doivent à la physique et inversement Dans l'histoire du développement de la pensée scientifique, il est souvent difficile de distinguer ce qui revient aux mathématiques de ce qui est initié par la physique. Les savants se cantonnaient alors rarement à un unique domaine. De la méthode d'exhaustion déjà utilisée par Archimède aux équations de Fourier et Maxwell, les exemples à explorer sont nombreux. Archimède et la méthode d'exhaustion / Les fluxions de Newton et le calcul infinitésimal /Une polémique autour des engrenages / Claude Mydorge : de l'optique aux sections coniques / Joseph Fourier, initiateur de la physique mathématique / Ludwig Boltzmann, aux origines de la mécanique statistique / James Clerk Maxwell, l'unification du magnétisme et de l'électricité Dossier 2 : De l'observation de la nature à la pensée mathématique L'étude du mouvement des astres illustre la transformation du rapport aux mathématiques qu'ont eue les physiciens. Après la méthode synthétique de Newton, la méthode analytique de Lagrange a donné naissance à la théorie des équations différentielles. Puis, sous l'inspiration de Poincaré, le même problème portera les prémisses des systèmes dynamiques. Une science en mouvement / La méthode synthétique de Newton / Lagrange et la méthode analytique / Du problème des trois corps au chaos mathématique / Quand la physique « prouve » un résultat mathématique / Des utilisations de la dérivée seconde Et aussi D'un côté la physique, de l'autre les mathématiques ? Parfois, les nécessités de la physique poussent les mathématiciens à explorer de nouveaux concepts, et parfois la connaissance mathématique révèle des résultats insoupçonnés en physique. Différences de notations : matheux et physiciens irréconciliables ? Les matheux trouvent les physiciens peu rigoureux, avec des notations qui cachent parfois des difficultés réelles. Ces derniers pensent que les matheux sont dans une abstraction inutile Une nouvelle définition du système international d'unités La conférence tenue à Versailles en novembre 2018 a modifié quatre unités de mesure, dont le kilo. Elles ne dépendront plus d'expériences spécifiques Et toujours En bref- nouvelle : bain de minuit - maths récréatives : cyclo-maths - notes de lecture - problèmes et solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Après le Hors série 69 de Tangente sur les mathématiques utilisées dans la physique classique, le Hors série 71, qui paraît en juillet, s'intéresse aux maths de la physique théorique et des concepts les plus modernes : relativité, mécanique quantique, hypothèses à valider, sont au cœur de ce numéro. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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D’où proviennent les mystérieux nombres p-adiques ? Qui était Kurt Hensel, leur inventeur à l’intuition géniale ? Les opérations sur ces nombres nous semblent à contresens par rapport à nos habitudes. Quant à -1, il s’écrit avec une infinité de chiffres après la virgule. C’est une véritable poésie des nombres qui nous est proposée ! Dans ce numéro, il est également question des mathématiques de l'archéologie. Vous y trouverez également une biographie d'Alexandre Grothendieck, l'un des plus grands mathématiciens du 20e siècle. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Aurélie Jean (Auteur) Aujourd’hui, les algorithmes sont partout autour de nous. Ils nous fascinent autant qu’ils nous effraient, parce qu’ils nous font craindre un monde où la machine finirait par l’emporter sur l’humain. Dans ce texte aussi instructif qu’accessible, Aurélie Jean nous emmène par-delà la science-fiction à la découverte de ces entités mathématiques et numériques qui font désormais partie de notre quotidien, et pose la question de leur encadrement, pour un monde plus juste et équitable.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Approche algébrique Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos. Un nombre complexe, c'est quoi? / Conjugué, module et argument / "C" est un corps algébriquement clos / Les nombres complexes de module 1 Dossier 2 : Représentations géométriques À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Des nombres pas si complexes / Les isométries du plan / Des similitudes intéressantes... / L'inversion / Une belle application des complexes : les ensembles de Julia / La géométrie des complexes / Le théorème de Marden Dossier 3 : Complexes, trigonométrie et analyse Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans C, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie. Des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent désormais plus s'en passer. Et aussi Nombres complexes et trigonométrie : des liens profonds et méconnus / Déambulation dans le plan complexe / L'exponentielle complexe / La fonction Zeta et l'hypothèse de Riemann Et toujours Lu, vu, entendu - en bref - notes de lecture - problèmes - nouvelle : les complexes de bêta - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Exploiter les modèles, les statistiques et les technologies Les questions liées à l'exploitation, la gestion et la redistribution des ressources sont parmi les plus importantes qui aient été posées à nos sociétés. Les mathématiques sont en première ligne en proposant des méthodologies et de modèles, qui seront à la sources des mesures, des interprétations et des conclusions des scientifiques. Dossier 2 : Carbone, climat, énergie La terre se réchauffe. La responsabilité de l'homme étant pointée du doigts, de plus en plus de pays encouragent des initiatives plus << verte >>, comme le remplacement du charbon par l'énergie électrique. Cette dernière est-elle aussi vertueuse qu'on le prétend ? L'interprétation des données disponibles permet de garder la tête froide. Dossier 3 : Géographie humaine et biodiversité Prendre la mesure de la complexité de la biodiversité passe par une modélisation fiable et réaliste des écosystèmes. Les système dynamiques pour les modèles proies-prédateur ou l'algèbre linéaire pour comprendre les dynamiques d'évolution des populations sont mobilisés. Il importe de maîtriser ces outils sous peine de prédire l'extinction d'une population non menacée ou l'inverse. Et aussi Des modèles pour une gestion responsable de l'eau / Mesurer la température / La sciences des éoliennes / Les dégâts de la population de l'air en chiffres / Les défis de la transition énergétique / Une équation délicate / Les effets contre-productifs de la fermeture des voies sur berges / Véhicules électriques : des vertus... et des vices / Partir de bon matin, à bicyclette... / Gaz à effet de serre : Les paradoxes du transport / La biodiversité en équations / Le système proies-prédateurs / Le modèle de Leslie sur la dynamique des populations / L'antarctique, un continent encore mystérieux Et toujours En bref -d'où viennent les chiffres - mathématiques récréatives - notes de lectures - problèmes - nouvelle - solutions Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Les surfaces sont des objets de dimension 3 pas toujours très faciles à percevoir. Ce hors série a décomposé leur approche en trois parties. Fabriquer Qu’on les construise, qu’on les agence, qu’on les tricote, qu’il s’agisse de faire des toits ou simplement de belles formes, la fabrication des surfaces est une extraordinaire passerelle entre mathématiques et applications. Parfois, les questions pratiques posent des défis aux théoriciens, quand d’autres fois, à l’inverse, c’est la beauté abstraite de la géométrie qui inspire créateurs et architectes. Les propriétés des surfaces n’ont pas fini d’étonner et d’inspirer. Étudier Pour un mathématicien, comprendre les surfaces ou calculer leur aire, c’est en général faire de la géométrie différentielle ou du calcul intégral. Que de progrès réalisés depuis les anciens Grecs, qui devaient recourir à de redoutables astuces adaptées à chaque cas rencontré ! Des questions variées se posent encore, dont les impacts sont souvent insoupçonnés, débouchant parfois sur des applications considérables. Imaginer Inventer l’inexistant, explorer des mondes inconnus, se déplacer « autrement »… Les surfaces permettent aux théoriciens de laisser libre cours à leur imagination, pour échafauder, par exemple, des objets d’un genre nouveau. Rien n’arrête la créativité, qui va même jusqu’à expliquer, avec les « fractals lisses », comment faire tenir la Terre dans un ballon ou un dé à coudre… Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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La notion d’optimum évoque souvent celle de maximum ou de minimum d’une fonction qui, comme un fluide, évoluerait de manière continue, et même dérivable. L’arsenal de l’analyse et du calcul différentiel s’impose alors à l’esprit. Optimum et théorie des graphes L’optimisation concerne aussi, dans une large mesure, des quantités ne pouvant prendre qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Quand l’éventail des techniques issues de l’analyse n’est alors plus d’aucun secours, les mathématiques discrètes et la théorie des graphes prennent le relais. En géométrie L’optimisation s’applique aussi à des contextes géométriques. La nature a été la première à la rechercher, que ce soit dans la forme des alvéoles des abeilles ou dans celle de certains reliefs façonnés par l’eau ou le vent. Les mathématiciens, eux aussi, s’y sont employés, utilisant aujourd’hui les outils du calcul différentiel qui ont supplanté les méthodes anciennes au point de rendre la géométrie méconnaissable. Approcher le meilleur S’il est souvent possible de démontrer de façon théorique l’existence d’une solution optimale à un problème donné, une forme explicite et complète de cette solution est plus difficile à obtenir en dehors de quelques cas d’école. Il faut donc se contenter d’en calculer, à l’aide d’algorithmes, une estimation. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier : Mathématiques et musique contemporaine On connaît depuis Pythagore les liens étroits qui relient la musique et les mathématiques. Au XXe siècle, les plus grands noms comme Boulez, Xenakis ou Schaeffer, ont rivalisé d’inventivité, en s’appuyant sur les probabilités, les symétries et même la théorie du chaos, pour créer des compositions nouvelles. Depuis l’arrivée des synthétiseurs, la donne a été bouleversée et des ingénieurs collaborent aux créations musicales dans des organismes comme l’Ircam. Certains s’inspirent de rythmes reposant sur des rapports numériques simples pour revisiter des musiques populaires comme le tango argentin. Un siècle de création musicale décomplexée, Astor Piazzolla et le tango nuevo, Acoustique et informatique musicale Dossier : Le birapport En modélisant la perception visuelle, les peintres de la Renaissance ont fait émerger une géométrie nouvelle pour représenter la profondeur. Rien ne semblait se conserver, sauf une étrange relation liant quatre points alignés sur des droites concourantes, le birapport, qui pourtant, dès l’Antiquité, avait été pressenti par Ménélaüs et Pappus. Le birapport, en particulier dans le cas de la « division harmonique » (quand il vaut -1), permet des constructions géométriques et des démonstrations élégantes, même dans un cadre non euclidien. Il offre un regard différent sur le plan, en abolissant le règne des notions d’angle et de distance. Un outil géométrique d’une incomparable efficacité, Des accords plus harmonieux, Un invariant par projection centrale, Les théorèmes de Ménélaüs et Ceva, Birapport d’un autre monde. Et aussi Colorier les pavés du plan, Le métronome, Un ticket gratuit vers les étoiles ?, Jean Bourgain, l’art de relier des domaines inattendus Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Le numéro 198 contient deux dossiers : - Roger Penrose Le Nobel de physique 2020, décerné à Roger Penrose, Andrea Ghez et Reinhard Genzel, est l?occasion de revenir sur la belle histoire d?un savant hors du commun dont les travaux en topologie ont contribué à éclaircir la connaissance des trous noirs. Roger Penrose, par ailleurs grand vulgarisateur, livre dans ce numéro une interview exclusive. - Mathématiques et société C'est le thème de la désormais traditionnelle Semaine des maths. Un vaste sujet qui interroge sur la mathématisation de la vie en société et des interactions sociales. Des questions démocratiques aux outils de calcul haute performance nécessaires pour traiter un grand volume de données, en passant par le dénombrement de manifestants ou l?emploi des graphes pour modéliser la proximité sociale, les sujets sont variés. Dans ce numéro, également : - L'article lauréat du PMA (Prix Tangente du meilleur article) autour d'une nouvelle revisitée de Jorge-Luis Borges - La saga des grands moments : les processus aléatoires. - Des jeux arithmétiques autour du nombre 2021 - De nombreuses brèves d'actualité? Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Le numéro 198 contient deux dossiers : - Roger Penrose Le Nobel de physique 2020, décerné à Roger Penrose, Andrea Ghez et Reinhard Genzel, est l?occasion de revenir sur la belle histoire d?un savant hors du commun dont les travaux en topologie ont contribué à éclaircir la connaissance des trous noirs. Roger Penrose, par ailleurs grand vulgarisateur, livre dans ce numéro une interview exclusive. - Mathématiques et société C'est le thème de la désormais traditionnelle Semaine des maths. Un vaste sujet qui interroge sur la mathématisation de la vie en société et des interactions sociales. Des questions démocratiques aux outils de calcul haute performance nécessaires pour traiter un grand volume de données, en passant par le dénombrement de manifestants ou l?emploi des graphes pour modéliser la proximité sociale, les sujets sont variés. Dans ce numéro, également : - L'article lauréat du PMA (Prix Tangente du meilleur article) autour d'une nouvelle revisitée de Jorge-Luis Borges - La saga des grands moments : les processus aléatoires. - Des jeux arithmétiques autour du nombre 2021 - De nombreuses brèves d'actualité? Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Ce numéro de fin d'année est très riche. Outre ses deux dossiers : Mathématiques collaboratives Problèmes ouverts et conjectures On y trouve : - Le palmarès des Trophées Tangente 2020 - Une interview de Fabien Durand, nouveau président de la SMF - Un épisode de la saga des grand moments avec l'émergence de la méthode axiomatique initiée par Euclide - Un article sur Vaughan Jones, le "magicien des nœ?uds", récemment décédé Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Dossier 1 : Calculer toujours plus vite Tout au long de l'histoire, calculer mieux et plus vite a constitué un impératif, à la base d'importants enjeux. Les méthodes se sont multipliées. Descartes utilisait la géométrie pour effectuer des opérations arithmétiques ! Le calcul mental, avec ses astuces, a pris une place importante dans l'enseignement, même si son approche a été bouleversée par l'arrivée des calculatrices. Le calcul mental, c'est vital ! / Des « trucs » géométriques pour calculer / La magie des critères dominos / Des carrés faciles à retenir / La mécanique du calcul / La méthode de Trachtenberg / Apprendre à calculer à la calculatrice ! / Savoir compter, un atout dans la vie Dossier 2 : Maths et escroquerie Depuis l'époque d'Archimède déjà, la science est utilisée pour détecter des fraudes. De nos jours, l'administration utilise des mathématiques, via des algorithmes sophistiqués, pour démasquer ceux qui dissimulent bénéfices ou revenus. Mais les mathématiques peuvent aussi être utilisées par des escrocs. Ce fut le cas de Ponzi, et plus récemment de Madoff, qui échafaudèrent des systèmes élaborés pour amasser des gains indus. Escroqueries, fraudes, mystifications, tromperies et mathématiques / Les maths au service du fisc / Systèmes de Ponzi, mathématiques et retraites / Les fausses démonstrations / Nouvelle : L'embrouille de Dédé l'Effronté Et aussi Comment sont conçues les images virtuelles Congrès de Rio : la géométrie algébrique à l'honneur. Le dôme de Bohème Partez à la rencontre d'une surface méconnue et pourtant utilisée de longue date en architecture Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Mathématiques et jeux Jeux et mathématiques sont intimement liés. Les différentes stratégies élaborées par un joueur ne sont-elles pas des algorithmes ? Aussi le jeu peut-il « jouer » un rôle à l'école et rendre ludiques de nombreux enseignements. Et si chaque problème de maths prenait la forme d'un jeu ? L'intérêt pour les énigmes et autres récréations ludiques a depuis longtemps eu du succès auprès des lecteurs, dans la presse comme dans l'édition. D'éminents mathématiciens comme Sir William Rowan Hamilton, James Joseph Sylvester ou encore Martin Gardner ont même posé des défis à la frontière entre le jeu pur et le problème mathématique. Faire des maths par le jeu, c'est concilier l'utile et l'agréable, et c'est sans doute pour cela que le thème de la Semaine des maths 2019 est « Jouons ensemble aux mathématiques ». Les mathématiques se prêtent au jeu / Jouer en cours de mathématiques / Jeux de société, jeux en société / Dans la presse aussi / Le Prix Bernard-Novelli Dossier 2 : Léonard de Vinci Cinq cents ans exactement après sa mort, Léonard de Vinci fascine toujours. Pour les Français, c'est la Joconde au Louvre, et des inventions spectaculaires présentées au château du Clos Lucé à Amboise. Artiste, ingénieur, scientifique, ce savant italien génial a traversé les Alpes pour terminer ses jours dans le Val de Loire. Son lien étroit avec Luca Pacioli, l'un des fondateurs de la comptabilité, a orienté Léonard vers les mathématiques. Ses dessins de polyèdres transforment des figures géométriques en autant d'œuvres d'art. Sa maîtrise tant théorique que pratique de la perspective lui a fait comprendre le lien étroit entre la peinture et les mathématiques. Dans un monde sortant du Moyen Âge, et bien avant René Descartes, Léonard de Vinci a compris l'importance de la démarche scientifique et la place des mathématiques dans la compréhension du monde. L'artiste géomètre / Luca Pacioli, l'ami mathématicien de Léonard / Différentes perspectives / Un patron des polyèdres ! / Des inventions de haut vol Et aussi Les hallucinantes propriétés de l'infini/ L'astrolabe planisphérique / Astro: street art, trompe l'œil et illusions d'optique / En bref Et aussi Colorier les pavés du plan, Le métronome, Un ticket gratuit vers les étoiles ?, Jean Bourgain, l’art de relier des domaines inattendus Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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SOMMAIRE Dossier : la zététique La pensée scientifique permet de faire la différence entre opinion, croyance et science. Outil indispensable de tout citoyen, elle fait l’objet, à l’initiative d’Henri Broch dans les années 1980, d’un enseignement de méthodologie scientifique auprès des étudiants. Il l’a nommé zététique, reprenant ainsi un ancien vocable utilisé par des écrivains et philosophes depuis Viète. La zététique ou l’art du doute / Une approche mathématique du paranormal/ Démystifier les « codes secrets » de la Bible / Réalité objective et réalité perçue / De l’art de faire parler les chiffres / Transmission de pensée : que dit la statistique ? Dossier : Enveloppe d'une famille de droites Lorsqu’on considère une famille de droites, il existe souvent une courbe tangente à chacune d’entre elles : c’est l’enveloppe de cette famille. Quel plaisir de l’oeil que de voir ces figures géométriques faites de droites habilement placées le long desquelles s’enlace une jolie courbe qui semble effleurer chacune d’entre elles ! Parmi les courbes ainsi construites, que l’on peut reconnaître dans les pliages ou les tableaux de fils, on retrouve certaines figures bien connues, comme les coniques. Réunion de famille / Enveloppes, point courant et développées / Enveloppes sous plis / L’enveloppe d’une famille de courbes Et aussi Trois mathématiciens récompensés / Le pendule cycloïdal / Nouvelle : Arnacarello il Magnifico / Récrémath : les tableaux de fils tendus / Maths étonnantes : Époustouflants carrés magiques premiers / Problèmes / notes de lecture. Et aussi Colorier les pavés du plan, Le métronome, Un ticket gratuit vers les étoiles ?, Jean Bourgain, l’art de relier des domaines inattendus Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Dossier 1 : La dualité Au début du XIXe siècle, Joseph Gergonne pensa découvrir un nouveau monde lorsqu’il comprit qu’un théorème naissait d’un autre en intervertissant dans un énoncé les termes « point » et « droite ». Baptisé « dualité », ce principe permet de parvenir à des démonstrations saisissantes de rapidité. Dossier 2 : Des livres et des maths : votez pour le Prix Tangente Les ouvrages sélectionnés pour le prix Tangente du livre sont l’occasion de lire cet été, puis de voter pour celui que vous préférez ! Les passionnés d’écriture sont même invités à prendre la plume dans le cadre du prix Tangente du meilleur article. Dossier 3 : jouer avec les maths C’est le temps de l’été, des vacances et des jeux. Jeux vidéo ? Les maths sont omniprésentes pour en gérer l’animation. Jeux de cartes ? Bien mélanger n’est pas si simple, surtout si le jeu est infini… Programmer un jeu mathématique ? La créativité est au rendez-vous avec le prix Bernard-Novelli. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Un numéro exceptionnel, à ne pas manquer. Le numéro de Tangente de fin d'année est exceptionnel à plus d'un titre. • Il est dans un format inédit (20 x 28) et 64 pages • Il annonce les résultats des Trophées Tangente 2019 • Il consacre plusieurs pages aux conseils de cadeaux mathématiques • Il propose aux lecteurs d'être ses ambassadeurs, en particulier auprès des libraires • Il contient en son centre un catalogue détachable. Pour ce qui est de ses deux dossiers, très fournis, ils ont deux thèmes prometteurs : Divisibilité Source inépuisable d’émerveillements arithmétiques, les critères de divisibilité sont loin d’être tous connus… et encore plus loin d’être maîtrisés ! Tout le monde sait reconnaître un entier divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 ou par un de leurs produits. La divisibilité par 11 est déjà un peu moins connue. Mais celle par des nombres premiers tels que 13, 17, 19, 23 ou 29 ? Autoréférence L’autoréférence est à la source de paradoxes bien connus, mais aussi d’une crise dans les fondements de la logique et des mathématiques (voir le fameux théorème d’incomplétude de Gödel). Au-delà d’épineux problèmes philosophiques, l’autoréférence permet de jouer avec l’infini, aussi bien dans l’art que dans les mathématiques. Elle offre des développements suffisamment importants pour qu'une deuxième partie vous attende dans le numéro suivant. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Dossier 1 : Erreurs et approximation Même en mathématiques, royaume de la rigueur, on ne peut échapper à la nécessité de réaliser des approximations ou des arrondis, de borner des écarts ou des erreurs potentielles. Le maniement des nombres en virgule flottante en est un bel exemple. Indissociable du calcul scientifique, y compris avec l'outil informatique, l'approximation peut être lourde de conséquences. Dossier 2 : carrés magiques Depuis des siècles , les amateurs de belle arithmétique rivalisent d'ingéniosité pour proposer des carrés magiques toujours plus étonnants, aux propriétés chaque fois plus nombreuses. L'un des experts en la matière René Descombes nous livre certaines de ses méthodes de construction. Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Peut-on tout mesurer ? Dossier 1 : Peut-on tout mesurer ? Omniprésentes dans les domaines les plus variés de notre vie quotidienne, les mesures nous semblent naturelles. Étalons, balances, jauges…sont les outils qui viennent à l’esprit pour les établir. Si les mesures nous semblent objectives, elles sont parfois trompeuses. Comment attribuer une valeur à des notions qualitatives comme l’intelligence, le bonheur ou même la vertu ? Complexes encore sont les grandeurs non linéaires, ou celles dont la définition relève d’une comparaison arbitraire, telles la pression ou la température. Dossier 2 : Les Trophées Tangente Ce numéro vous invite à voter pour l'un des dix livres pré-sélectionnés pour le Prix Tangente 2020. Il vous propose aussi de vous lancer dans le Prix du meilleur article ou le Prix Novelli. Il donne enfin le résultat du Prix Tangente des lycéens 2020, ainsi que la liste des livres du Prix 2021. Et aussi dans ce numéro… • Saga des grands moments mathématiques : l'émergence de la théorie des jeux • Le quarrage de la spirale d'Archimède : un calcul génial • Élections municipales : les dessous de la loi PLM • Maths récréatives : des coloriages du plan • Maths étonnantes : des suites autoréférentes « qui se mesurent elles-mêmes »ur à l?imagination débordante dans de nombreux domaines, en particulier le jeu ? le « jeu de la vie » l?a rendu célèbre ? et vulgarisateur hors pair, il incarnait le modèle idéal de mathématicien dont les lecteurs de Tangente pouvaient rêver. Par son talent, il a fait avancer les mathématiques dans des domaines variés : groupes finis, théorie des nombres, géométrie et topologie géométrique, physique théorique, combinatoire, théorie des jeux? Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Le numéro 194 de Tangente consacre son dossier principal à une approche mathématique des questions soulevées par la pandémie qui a bouleversé notre quotidien depuis le mois de mars. Un deuxième dossier traite de la vie de John Conway, un grand personnage des mathématiques, récemment emporté par cette pandémie. Quant à la saga des grands moments, elle raconte ?introduction de l?algèbre en Occident, grâce à François Viète. Le sommaire Dossier 1 : Covid-19, une approche mathématique La pandémie de Covid-19 a surpris par sa virulence mais également par la rapidité de sa propagation. De nombreuses statistiques, parfois contradictoires, ont été publiées. Les modèles mathématiques permettent d?appréhender, de comprendre, d?étudier, de prédire les phénomènes qui nous entourent. Mais quel peut être leur apport alors que tant d?inconnues subsistent ? Dossier 2 : Le génie de John Conway John Horton Conway, mathématicien de génie, est décédé le 11 avril. À la fois créateur à l?imagination débordante dans de nombreux domaines, en particulier le jeu ? le « jeu de la vie » l?a rendu célèbre ? et vulgarisateur hors pair, il incarnait le modèle idéal de mathématicien dont les lecteurs de Tangente pouvaient rêver. Par son talent, il a fait avancer les mathématiques dans des domaines variés : groupes finis, théorie des nombres, géométrie et topologie géométrique, physique théorique, combinatoire, théorie des jeux? Choisissez votre option : Option papier : Recevez votre magazine préféré directement dans votre boite aux lettres Option numérique : Consultez en ligne votre magazine préféré sur www.tangente-mag.com Option papier + numérique : Profitez des 2 options précédentes.

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Dossier 1 : Mathématiques et cinéma Le cinéma a été possible grâce à l'obstination de grands précurseurs visionnaires conjuguée aux progrès technologiques. Comment réaliser un trucage ou une illusion sur grand écran ? Comment suggérer une courbe, évoquer une forme, rendre visible le mouvement et la troisième dimension ? Aujourd'hui, on fait appel aux mathématiques ! Les maths dans les films de fiction / Trois ancêtres de la caméra / Le polynôme de Charlie Chaplin / Méliès : trucages et anamorphoses / Les fractales au cinéma / Effets spéciaux / Quand les roues tournent à l'envers Dossier 2 : Calculs d'aires L'aire des figures planes se devait d'être évaluée pour des raisons ancrées dans le réel : partager un champ de manière équitable, soumettre un domaine à l'impôt le plus juste possible… Les Anciens procédaient par approximations successives, un procédé fastidieux quand intervient ce nombre insaisissable, π. Il faudra plusieurs siècles pour fonder le calcul intégral, qui résout nombre de cas pratiques, de l'aire du champ de maïs à celle balayée par une planète durant sa révolution autour du soleil. Approximation de π par des aires / Pick et Pick et polygones / Aires et primitives / L'intérêt des coordonnées polaires / La loi des aires de Kepler Et aussi Les 30 ans de Tangente ! Qui aurait pensé que l'aventure, débutée en 1987, se poursuivrait encore aujourd'hui ? Pour remercier ses lecteurs, Tangente vous convie à une grande journée des mathématiques dimanche 3 décembre au Musée des arts et métiers / Autour de l'angle inscrit / Maryam Mirzakhani, une étoile vient de s'éteindre Et toujours Courriers des lecteurs - en bref - NOUVELLE : Le retour du réveil de la force - notes de lectures - problèmes - maths étonnantes - solutions - agenda

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Dossier 1 : La science de l'eléa Depuis l'époque de la " géométrie du hasard ", les mathématiques ont développé des outils pour fonder cette impensable discipline : une théorie rationnelle, cohérente, qui rend compte de ce qui est par nature toujours fuyant et semble inaccessible à la raison. Mathématiser le hasard / De la moyenne à l'espérance / La loi de Bernoulli / Causes, conséquences et probabilités / La loi binomiale / En passant par hasard / Un paramètre de dispersion : la variance / Une théorie de poids Dossier 2 : Utiliser le hasard Le hasard fait bien les choses. Ce vieux dicton ne croyait sans doute pas si bien dire: loin de n'être qu'une manifestation de notre impuissance à comprendre les phénomènes, le hasard est aujourd'hui un outil fondamental de la science d'aujourd'hui. Trouver le tout dans la partie : les sondages / Des footballeurs dans le chocolat / La loi hypergéométrique / Subtilités sondagières Dossier 3 : Quand l'infini s'en mêle Que le monde serait simple, s'il suffisait de compter des cas favorables et des cas possibles pour faire des probabilités! Malheureusement (ou heureusement, c'est selon), même des situations très concrètes nécessitent le recours à des raisonnements où une infinité de possibilités doivent être prises en considération. Du fini à l'infini / La loi géométrique / Le mouvement brownien / La loi uniforme / Comment obtenir π par hasard / Des filles à l'infini? Et toujours Une devinette probabiliste - jeux et énigmes - solutions - citations improbables

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Dossier 1 : Imaginer les nombres Étonnant retour en boucle: certaines civilisations utilisent des nombres et des structures géométriques sans les nommer, puis des civilisations ont désigné les nombres et enfin les logiciens prouvent l'existence d'un nombre, le nombre Oméga, qu'ils ne savent pas calculer... Les mathématiques dans les sociétés sans écriture/ Nommer et écrire les nombres dans les différentes langues / L'invraisemblable nombre Ω / La découverte de la numération Centauréenne Dossier 2 : Les nombres entiers Tout comme la biodiversité montre les diverses solutions de l'Évolution au problème de l'environnement, la variété extraordinaire des propriétés des nombres illustre les questions incongrues, mais fécondes, que se posent les mathématiciens. Erdös, prince des " résolveurs " / Kaprekar ou la passion des nombres / Les nombres de Ramsey / Triplets pythagoriciens / La répartition des nombres premiers Dossier 3 : Construire les nombres ,percer leurs secrets Mon âme a son secret, les math ont leur mystère ... et pourtant les nombres univers ont toute la beauté du monde. Votre intuition, rarement trompée, et même alors notre intelligence s'en amuse, vous donnera les solutions des énigmes. Les carpettes de Conway / Les racines emboîtées à l'infini / La découverte des nombres transcendants / Les nombres univers / L'intuition trompée Et aussi Humour / Des nombres pleins de qualité Et toujours Jeux et énigmes - solutions