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La présentation de Tangente Les clés de toute œuvre mathématique sont la créativité, l'originalité, la beauté, le caractère d'évidence et d'achèvement. C'est aussi exactement ce qui caractérise une œuvre d'art. Dès lors, un dialogue fécond entre arts et mathématiques s'établit naturellement, d'autant que les techniques mathématiques peuvent se mettre au service de l'art. La notion de perspective relève aussi bien de la peinture que de la science. Il en va de même de la symétrie, des trompe-l'œil, des anamorphoses ou des fractales. L'architecture et les décors de l'Alhambra de Grenade fascinent encore aujourd'hui, tout comme les peintures abstraites de Piet Mondrian, Paul Klee, François Morellet, Vassily Kandinsky ou de Victor Vasarely. Aussi loin que l'on remonte dans l'histoire, mathématiques et arts sont entremêlés. L'ouvrage propose un voyage très complet et documenté, visuellement plaisant, à travers ces liens parfois évidents, parfois insoupçonnés que les artistes et les mathématiciens ont tissés au cours des siècles (et tissent encore). Le sommaire Les grands classiques Techniques mathématiques au service de l'art Représenter les mathématiques Les maths, sources d'inspiration

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La présentation de Tangente À son évocation, le terme « fractal » fait immédiatement surgir de saisissantes images, colorées, infiniment complexes, fascinantes. En pratique, les formes fractales restent globalement identiques à elles-mêmes, quelle que soit l'échelle à laquelle on les regarde. On les retrouve dans la nature, des côtes bretonnes déchiquetées à la forme des nuages, en passant par les fougères ou les choux romanesco. Benoît Mandelbrot, le « père des fractales », a œuvré toute sa vie pour que change notre regard sur les formes qui nous entourent. En plus de générer des images magnifiques, ces objets géométriques possèdent une définition mathématique qui reste à la portée de tous. Elles ne pouvaient donc que nous séduire, au point même d'inspirer de nombreux artistes, ce qui conduit à un ouvrage très visuel avec des images de toute beauté. Le principe des fractales se généralise dans de nombreux domaines : dans les cours de la bourse, dans les encéphalogrammes, en théorie du signal, en médecine, en sismologie, dans les statistiques, dans la consommation d'énergie d'un pays ou la fréquence des appels d'un standard téléphonique Le sommaire À la découverte des fractales Aux frontières du réel Systèmes dynamiques et chaos Les fractales en action Art fractal

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SOMMAIRE Le latin, source de mots nouveaux / Le manifeste de l'art vectoriel Dossier 1 : Histoire et axiomatique La notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIX ème siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs ont permis ce changement de point de vue en introduisant les notions de « base », de « déterminant », d'« application linéaire » Expliquer les vecteurs par la géométrie / Une relation qui s'est fait un nom / Un concept révolutionnaire / « La » dimension : une idée pas si évidente ! / Applications linéaire : le noyau dur de l'algèbre linéaire / Le théorème du rang Les matrices vues comme des vecteurs / Les modules Dossier 2 : La géométrie autrement Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Cette « mathématique sans figures » s'intéresse aux transformations de l'espace et à leurs invariants. L'intuition géométrique y trouve un sens renouvelé. Une géométrie sans figures / Le programme d'Erlangen / Du vectoriel à l'affine et vice versa ! / Précieux barycentres / Alignement, coplanarité, concourance même combat ! / Les transformations géométriques sous l'angle des vecteurs / Composer des transformations géométriques / La conjecture des bases de Rota Dossier 3 : Espaces euclidiens, distances et normes En introduisant le concept d'orthogonalité et d'angle grâce au produit scalaire, le champ des espaces vectoriels débouche sur les espaces euclidiens et hilbertiens. Les espaces normés sont ainsi devenus des cadres incontournables dans lesquels s'inscrivent désormais la géométrie et l'analyse. Propriétés affines et métriques / La lente émergence des espaces euclidiens / Espaces normés, espaces fonctionnels / Le produit vectoriel Angles orientés et rotations du plan / Les polynômes vus comme des vecteurs / Le plan projectif et l'espace universel / Calcul approché d'une intégrale et orthogonalité Dossier 4 : Des applications aux sciences Les vecteurs se sont révélés indispensables à l'étude des mouvements et des forces. Leur champ d'application s'étend bien au-delà : toutes les sciences de l'ingénieur font un usage immodéré de l'algèbre linéaire, du calcul matriciel, et des notions qui en sont dérivées, comme les spineurs. Cinématique : l'atout « vecteurs » / Le mouvement vectoriel de la comète Encke / Équations linéaires et suites récurrentes / Au-delà des vecteurs / Les spineurs / L'analyse vectorielle, des outils pour les champs Dossier 5 : Ils sont partout ! Les vecteurs apportent un enrichissement de notre approche de nombreux domaines. Leur présence a opéré une véritable révolution, accentuée par l'avènement de puissants outils de calcul, aussi bien dans le stockage et la définition d'une image, en art ou en littérature. Les mots sont des vecteurs / Images matricielles, images vectorielles / Les espaces vectoriels, c'est ludique ! / Le dessin de la toile d'araignée « Lambertiser » le cadastre ! / Les espaces vectoriels musicaux de Yanis Xenakis Et toujours En bref - Nouvelle : L'héritage extraordinaire de Papy Askilman - Mathématiques récréatives - Problèmes - Notes de lecture et solutions

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SOMMAIRE DOSSIER 1 : Puzzles et découpages du plan Les récréations autour des découpages géométriques se retrouvent dans toutes les civilisations. Les carrés, les polygones et les polyminos fournissent une mine inépuisable d'énigmes dont l'élégance réside souvent dans la simplicité. Quatre auteurs pour un théorème / Le Tangram / Des preuves à partir de dissections / Découpages du carré, d'Abu al-Wafa à Dudeney / Un tour d'horizon des méthodes de découpe / Le théorème de Pick / Ar-ti-cu-lez ! / Lunules et arbelos : dites-le avec des arcs de cercle ! DOSSIER 2 : Friandises géométriques Quelques essais de construction avec papier, crayon et ciseaux suffi sent à faire émerger des paradoxes, des raisonnements heuristiques convaincants mais pas toujours rigoureux, des jeux et énigmes spectaculaires Paradoxes dans le monde des découpages / Les pentaminos plus forts que le Tangram / Le Stomachion, le plus vieux puzzle du monde ! / À la découverte des polyminos et polyamants / Les rep-tuiles et le Sphinx / Ernest Freese et le manuscrit disparu / L'art de Harry Lindgren / Erik et Martin Demaine / La trilogie de Greg Frederickson / Les merveilleux découpages de Gavin Theobald / Une mine de jeux / Quand les tuiles pavent le plan DOSSIER 3 : Dissections en dimension 3 Si l'on passait à l'espace ? Une surprise de taille nous attend : les dissections n'y sont pas toujours possibles ! Mais dans les situations où les constructions existent effectivement, cela donne lieu à d'étonnants casse-tête. L'invariant de Dehn : pas de théorème de Bolyai pour les polyèdres ! / Les nœuds de bois / Le puzzle le plus simple du monde : couper en deux un tétraèdre / Le tétraèdre d'Eudoxe / Remplir l'espace sans casser d'œufs / L'horloge de Kürshák / Les barreaux de burr / Trianguler une surface / Les boîtes de cubes DOSSIER 4 : Pavages et frises Les pavages sont autant de la géométrie que de l'art. Les formes qu'ils peuvent prendre semblent infinies. En réalité, il n'existe que dix-sept types de pavages différents, et de même, sept types de frises. Un premier tour d'horizon / L'épopée des pentagones / Mickaël Rao : « Les pavages regorgent de phénomènes étranges » / Le secret des motifs en terre d'islam / Les mosaïques de l'Alhambra de Grenade / Signature et théorème des pavages / Dix-sept groupes pour paver le plan / Escher et maths / Les sept types de frises DOSSIER 5 : Étonnante sphère ! Réaliser des découpes en dimension trois nécessite une certaine familiarité avec la vision dans l'espace. L'étude des pavages de la sphère a duré plusieurs siècles ! Aujourd'hui, on sait enfin qu'il en existe précisément quatorze types. Des paveurs venus de l'espace / Paver la sphère, toute une histoire ! / Symétrie, quand tu nous tiens... / Möbius et les triangles sphériques / Les quatorze pavages de la sphère Et toujours Le monde des « puzzlers » - notes de lecture - en bref - nouvelle : Le robot-paveur R2D2 - jeux - problèmes - solutions

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VOIR LE SOMMAIRE DÉTAILLÉ Dossier 1 : D'où viennent les complexes ? Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés par les mathématiciens. Ce fut également le cas des nombres complexes. À l'origine de leur -tardive -introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations algébriques, en particulier celles du deuxième degré dans le cas le plus général. C'est donc d'un besoin bien réel qu'a émergé cette idée folle d'introduire un nouveau concept, celui de nombre « imaginaire », dont le carré serait -1, un nombre strictement négatif... qui a donné naissance à la notion de complexe ! Dossier 2 : Approche algébrique L'introduction des nombres complexes fut un acte d'une audace intellectuelle et d'une hardiesse inouïes. Elle a débouché sur un concept puissant, la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire d'ensemble muni de deux opérations dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mais les complexes ne peuvent pas tout ! Même pour les polynômes à coefficients réels, certaines conjectures, pourtant élémentaires à énoncer, restent aujourd'hui hors d'atteinte... Dossier 3 : Représentations géométriques À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. Dans la mesure où un nombre complexe peut être identifié à un point du plan, une puissante relation entre algèbre et géométrie a vu le jour. Cette représentation permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace... Homothéties, similitudes, inversions et autres homographies reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple ; elles deviennent aisément manipulables. Grâce à l'outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur. Un logiciel de géométrie dynamique devient alors un outil fantastique pour de telles explorations. Dossier 4 : Analyse et trigonométrie Les nombres complexes ont permis une extraordinaire correspondance entre des domaines des mathématiques qui paraissaient lointains : algèbre et géométrie, on l'a vu, mais aussi analyse et trigonométrie, qui s'en sont trouvées totalement bouleversées. En autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore aux accents grecs (gamma, zêta...) dont personne n'aurait pu imaginer la richesse. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! La fonction zêta fait maintenant miroiter mille merveilles, notamment au sujet des nombres premiers. Mais gare au téméraire qui abordera l'hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l'ampleur et de la difficulté de la tâche... Dossier 5 : Applications « À quoi servent les mathématiques ? » est une question que certains continuent à poser. Alors, les nombres « imaginaires », n'en parlons pas... Et pourtant, sans les nombres complexes, il y a fort à parier que les scientifiques n'auraient pas trouvé ces nouveaux algorithmes puissants qui permettent de multiplier extrêmement rapidement deux nombres gigantesques, réduisant de manière considérable les temps de calcul des ordinateurs. De même, sans les complexes, la théorie de l'électricité, cette fée dont plus personne ne saurait se passer aujourd'hui, ne serait probablement pas aussi cohérente. Et l'on serait bien en peine de concevoir des ailes capables de porter un avion dans les airs, ou de modéliser finement les trajectoires des planètes...

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L'ouvrage La théorie des ensembles a laissé un souvenir à tous ceux qui sont passés par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « dérouler » l'ensemble du savoir mathématique. Comment ? C'est ce que propose de découvrir cet ouvrage en levant le voile sur l'origine et la construction de cette théorie. Tout est parti d'un malaise scientifique profond, la crise des fondements. L'édifice mathématique, que l'on croyait solide et inaltérable, était en fait morcelé de contradictions et d'objets mal définis ! L'introduction des ensembles à la fin du XIXe siècle a permis d'assainir la situation, tout en donnant naissance à son lot de paradoxes, d'impossibilités, de situations défiant l'intuition... Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C'est ainsi qu'émergent les notions de structures et de fonctions, qui régissent la majorité des concepts mathématiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la géométrie en découlent de manière naturelle. Une telle simplicité conceptuelle confère aux ensembles et aux fonctions une efficacité redoutable ! Mais choisir les bons axiomes pour développer la théorie des ensembles et décrire les mathématiques (et, au-delà, toutes les sciences !) n'est pas une mince affaire... Le sommaire Dossier : Histoire d'une théorie révolutionnaire La théorie des ensembles est l'archétype même d'une théorie structurante. Cette architecture abstraite n'est pas sortie de nulle part : elle trouve son origine dans des problèmes relatifs aux fondements des mathématiques durant le XIXe siècle. L'oeuvre mathématique de Bourbaki - Une approche des mathématiques qui dérange - Lewis Caroll, vers la logique moderne - Premières utilisations des ensembles - Le jeu de Dobble - Borges, la Bibliothèque de Babel - L'hôtel de Hilbert Dossier : Ensembles, relations, applications : une nouvelle approche Au-delà de leur représentation naïve en «patatoïdes» connue sous le nom de «diagrammes de Venn», les ensembles offrent un cadre à une formalisation rigoureuse applicable à tous les domaines des mathématiques. De la collection d'objets à l'ensemble - L'ensemble et ses parties - Les diagrammes en patate, une idée qui donne la frite - Relations et applications : structurer les ensembles - éblouissantes relations binaires - La médaille Hausdorff - Construire des nombres, une histoire au long cours - Un pour un - Le nom des éléments d'un ensemble Dossier : Opérations, structures, nombres Les nombres sont au centre de l'édifice mathématique. Après un long règne de l'intuition, le besoin d'une axiomatique rigoureuse s'est fait sentir. Celle introduite par Péano pour définir les entiers naturels en est le plus bel exemple. Les opérations, elles aussi, entrent dans un cadre structurel d'une grande richesse. Kurt Gödel et l'indécidabilité - Adhérez aux groupes ! - Qu'est-ce qu'un groupe ? - La dimension fractale de l'ensemble triadique - La naissance des concepts algébriques - L'algèbre logique de George Boole. Dossier : Infini et paradoxes Une étude des axiomes sur lesquels la théorie des ensembles est fondée fait émerger la notion d'infini, mais aussi des paradoxes : un ensemble peut-il être membre de lui-même ? Combien de types d'infinis existent-ils ? Une brève histoire de l'infini - Georg Cantor : passer du fini à l'infini - La multiplicité des infinis - Le roman de Lotfi Zadeh - Les ensembles flous : modéliser les appartenances incertaines - John von Neumann, mesure et démesure. Dossier : Axiomatique On reproche souvent à la théorie des ensembles son caractère formel, abstrait, axiomatique. Pourtant, de nombreuses richesses émanent d'un cadre général que l'on pourra décliner selon les envies et les besoins ! Mais que sont les axiomes ? - La tentative de Zermelo pour éliminer les paradoxes - L'axiome du choix, si naturel, et pourtant si étonnant... - L'axiomatisation du hasard - Aux sources de la topologie - Dix problèmes en patates.

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L'économie n'a pas toujours fréquenté les mathématiques, jusqu'à l'arrivée de penseurs qui, au XIXe siècle, y ont fait entrer la rationalité scientifique. L'économie peut dès lors être considérée comme une science. Quel rôle les modèles mathématiques jouent-ils dans son analyse et son développement ? Peuvent-ils contrebalancer les décisions reposant sur une approche dogmatique, et donc influencer le politique ? C'est ce que développe cet ouvrage, en s'intéressant successivement aux deux principaux versants de l'économie : - la macro-économie, qui étudie la production et l'échange de biens de consommation, avec ses notions essentielles comme la monnaie, l'inflation, le PIB ou les indicateurs ; - la micro-économie, qui concerne les interactions marchandes à l'échelle des individus. Derrière leur modélisation, les principaux domaines des mathématiques interfèrent quotidiennement avec les systèmes de décision et de gestion. Parmi eux, les statistiques, les probabilités et les outils de l'analyse stochastique sont de plus en plus sollicités. Les principaux dossiers : o Le triangle économie, mathématiques et politique Pour combattre le dogmatisme et apporter une justification aux décisions prises par les politiques, il n'existe qu'un outil objectif : les mathématiques. Encore faut-il que les modèles tiennent compte d'un maximum de paramètres. économie et mathématiques : entre fascination et rejet -- Ivar Ekeland, entre mathématiques, économie et philosophie -- économie et politique, le fossé grandissant -- Antoine Cournot, des mathématiques à l'économie -- L'économie en questions. o Les concepts généraux de la macro-économie La macro-économie étudie la production et l'échange de biens de consommation. Il importe d'en comprendre les notions essentielles : la monnaie, l'inflation, le PIB, et les principaux indicateurs. Les grands principes de la macroéconomie -- Monnaie et inflation, deux concepts indissociables -- Du budget des familles à l'indice des prix -- Comprendre le produit intérieur brut -- Des points pour nos retraites -- Le seuil de pauvreté -- Nicholas Georgescu-Roegen, un précurseur incompris. o Les concepts généraux de la micro-économie La micro-économie concerne les interactions marchandes à l'échelle des individus. Elle a un impact direct et immédiat sur le confort de vie. Les mathématiques sont indispensables pour éviter en les pièges. Comprendre la microéconomie -- Inéquations pour un consommateur -- Le coefficient multiplicateur, un outil à l'usage du citoyen -- Les pièges des taux -- Modèles chaotiques en économie -- Prévoir mieux pour vendre plus. o Rencontres entre économie et mathématiques Les modèles mathématiques utilisés en économie sont récents, mais leur place est devenue prépondérante. Les principaux domaines mathématiques interfèrent quotidiennement avec les systèmes de décision et de gestion, les rendant de plus en plus efficients. À partir d'exemples concrets, appréhendez conjointement les concepts économiques et leurs outils mathématiques ! Quand l'économie illustre l'algèbre matricielle -- De la dérivée à l'élasticité -- Ce que préfèrent les consommateurs -- Décomposition du vecteur des productions en analyse input-output -- Les formules des marchés publics -- Le comportement du producteur et du consommateur. o L'Économie, une science statistique Le monde de l'économie est fluctuant, mouvant, parfois imprévisible. Les données, confrontées à la réalité, sont mesurées à l'aide de sondages, d'expérimentations, de tests... Il n'y a donc rien de surprenant que méthodes statistiques, modèles probabilistes et outils de l'analyse stochastique soient de plus en plus sollicités. Graphiques, statistiques et économie : des mariages de raison -- Une introduction à l'économétrie -- Les chaînes de Markov et la gestion du personnel -- La gestion de stocks en univers aléatoire -- L'indice de Gini : Vers une mesure objective de la répartition des richesses -- La formation des prix, incertitude et information.

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L'ouvrage On pourrait s'attendre à ce que les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture soient de nature purement géométrique. Il est étonnant de voir que de nombreux autres domaines sont aussi concernés : celui des nombres et des proportions (où l'on trouve le fameux nombre d'or), celui de la réalisation d'outils rationnels précis, et même celui de l'arbitrage entre l'exactitude et l'esthétique. La collection et les auteurs Bibliothèque Ta n g e n t e est LA collection de prestige de la culture mathématique, la référence de tous les lecteurs scientifiquement curieux. Avec plus de 50 titres, des contenus soigneusement dosés pour être accessibles au plus grand nombre, une mise en page luxueuse, elle propose une nouvelle façon de découvrir le monde ! L'équipe de Tangente, dirigée par Gilles Cohen et Bertrand Hauchecorne, comporte les meilleurs auteurs français de vulgarisation mathématique. SOMMAIRE Luca Pacioli : le point sur De divina proportione / Les leçons d'architecture de Michel Cantal-Dupart Dossier 1 : Le beau et l'exact Pourquoi serait-on obligé de ne penser les maths de l'architecture que sous l'angle de la rigueur? L'imaginaire a envahi les plans d'architectes. Délimiter la place de l'esthétique dans la construction, c'est aussi fixer le rôle de chacun au profit de l'oeuvre. Les deux sortes de beauté de Christopher Wren / L'harmonie des proportions / Proportions humaines et nombre d'or : le Corbusier / L'expo 58 à Bruxelles / De l'Art nouveau à l'Art déco / Une sphère parmi les lignes : la Géode / Vladimir Choukhov, le père des structures hyperboliques / La tour de Babel / Santiago Calatrava : des gares, des tours et des ponts Dossier 2 : La place des maths dans l'architecture Depuis l'Antiquité, les maths sont un partenaire indissociable de l'architecture. Ces liens, qui reposent sur des considérations pratiques et scientifiques, ont été bouleversés par l'arrivée de l'outil informatique. Maths et architecte au cours des siècles / Brunelleschi : un contenu scientifique et technique / La géométrie selon Villard de Honnecourt / Nouvelle : la tour infernale du professeur Phi / Yona Friedman, ambassadeur du diagramme / L'architecte face aux maths / Ouvrages classiques : peu de contenus mathématiques.../Vauban et les fortifications / Architecture et numérique, une mathématisation de l'espace / Jean -Louis Brahem , un architecte inspiré par les maths Dossier 3 : Le nombre, l'espace et la forme Le choix de la forme d'un bâtiment, les schémas et dessins préparatoires, les questions de rapport entre les différentes dimensions d'une construction sont des aspects fondamentaux de la démarche de l'architecte. Léonard de Vinci : math et constructions / Les proportions de Nikos Salingaros / Visite d'un bâtiment ... de la quatrième dimension! / La géométrie cachée d'Andy Goldsworthy / Le monde sur un dessin : la perspective / Richard Buckminster Fuller, touche-à-tout de génie Dossier 4 : Des maths utilitaires L'architecture s'étend bien au-delà de la construction de bâtiments. Les ponts, les huttes, les échafaudages tirent aussi leur solidité du respect de quelques règles de physique mathématique. Le métacentre en architecture navale / Les ponts suspendus / Le cône de Greenwich / Des maths au service de solutions sociales / Construire avec des losanges ! / Une petite histoire de la géométrie descriptive / Béton armé et surfaces réglées / Fabien Vienne, la géométrie par le jeu Dossier 5 : Courbes et surfaces L'architecture fait appel à des courbes et des surfaces dictées par le besoin de solidité des édifices. Ainsi apparaissent dans nos paysages urbains des formes aux propriétés intéressantes, comme des cercles, des chaînettes ou des hyperboles. Courbes et surfaces architecturales / L'hyperboloïde, amie des architectes / Histoire des voûtes / Des voûtes à la règle et au compas / La surface de Guimard / Zaha Hadid, architecte de l'impossible / La chaînette, l'élégance faite courbe / La gare de Liège -Guillemins / Quelques états du pentagone / L'architecture non standard Et toujours Problèmes et solutions

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La collection et les auteurs Bibliothèque Ta n g e n t e est LA collection de prestige de la culture mathématique, la référence de tous les lecteurs scientifiquement curieux. Avec plus de 50 titres, des contenus soigneusement dosés pour être accessibles au plus grand nombre, une mise en page luxueuse, elle propose une nouvelle façon de découvrir le monde ! L'équipe de Tangente, dirigée par Gilles Cohen et Bertrand Hauchecorne, comporte les meilleurs auteurs français de vulgarisation mathématique. SOMMAIRE Dossier 1 : La droite réelle Représenter les nombres réels comme les points d'une droite est une idée qui a bouleversé la géométrie autant que l'analyse. Depuis Descartes, qui repère les points du plan par deux nombres, on sait mettre une droite en équation! La droite des nombres: des définitions contre l'intuition / Géométrie ou nombres? / Descartes et les coordonnées / La droite topologique / La droite, en long et en large / Colorier la droite Dossier 2 : La droite géométrique Depuis Euclide, la droite est la base de la géométrie. Toutes les figures en contiennent, nombre de théorèmes énoncent que certains points sont alignés. On s'émerveille devant des droites remarquables, comme celle d'Euler. Un point d'histoire de la droite / Euclide : une introduction de la droite / Miraculeux théorèmes d'alignement!/ Les tangentes et les asymptotes / La droite de Simson et sa généralisation / L'alignement de Pappus / Pascal et l'hexagramme mystique Dossier 3 : Construire une droite La règle et le compas sont les instruments rois de la géométrie. Souvent cependant, le rôle de la règle est négligé. Que de richesses géométriques, pourtant, elle est capable d'offrir au mathématicien curieux! Trouver une droite : pas si simple! / La géométrie de la règle / La règle à calcul / Tracer une droite... sans la règle! / Tracer des parallèles / Construction d'une droite sur ordinateur / Partager un segment ou un angle / Transformer la droite / Un drôle d'alignement : le plan de Fano Dossier 4 : La droite comme outil Réfléchir sur des points alignés donne naissance à des jeux passionnants, de type Puissance 4. La droite peut aussi être source d'étonnement : elle fascine ou donne la migraine à ceux qui essaient de comprendre les illusions d'optique... Antoine Pevsner : honneur à la droite / Alignement et barycentre / Et si toutes les droites étaient orientées? / La droite des moindres carrés / Quand l'alignement est un jeu / Droite et illusions d'optique Dossier 5 : Nouvelles lignes d'horizon Géométrie euclidienne, géométrie projective : chaque vision nouvelle étend le concept de la droite. La notion de "plus court chemin" fait entrevoir la notion de géodésique, avec son lot de surprises et de problèmes amusants. La droite projective : une fructueuse mise en perspective / Des surfaces... faites de droites ! / Un point de vue radical sur les cercles / Harmonieux faisceaux de droites / Des enveloppes caustiques / Les vingt-sept droites d'une cubique / Faisceaux de droites / Les droites dans les espaces courbes : les géodésiques / Les droites du disque de Poincaré Et aussi Définition de la droite au cours des âges / Un peu de sémantique / Mathématiques récréatives / Ces droites qui ont un nom / Nouvelle : la droite amoureuse du cercle Et toujours Notes de lecture, problèmes et solutions

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SOMMAIRE La place grandissante des mathématiques dans les études de médecine / Les débuts difficiles de la statistique médicale / La carte du cerveau Dossier 1 : Modèles et épidémiologie La transmission externe des virus comme la propagation interne des microbes peuvent être modélisées par les systèmes dynamiques. Les mathématiques contribuent ainsi à juguler voire éradiquer des maladies. Histoire de modèles / La propagation des épidémies / Daniel Bernoulli et la modélisation de la variole / Le modèle de Ross : une explication de l'extension du paludisme Dossier 2 : Statistiques pour le diagnostic Que ce soit pour comparer les effets de médicaments différents, pour déterminer un indice de masse corporelle idéal ou pour quantifier la fiabilité d'un test, le recours aux raisonnements probabilistes et statistiques se révèle indispensable! Diagnostic, les raisonnements médicaux / Aider à la détection de l'ostéoporose / L'indice de masse corporelle / Etienne Hatvani, aux origines de la statistique hongroise / Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin / Markov: les chaînes de l'espoir / Deux paradoxes statistiques en médecine / Odds-ratio : les risques relatifs / Médicament versus placebo / Gérer les carences ou les excès en taux d'iode Dossier 3 : Contre le cancer Tout n'a pas été tenté contre le cancer, loin s'en faut. Depuis une trentaine d'années, les mathématiciens s'n mêlent. Les modèles à base d'équations différentielles et d'équations aux dérivées partielles commencent à produire des résultats thérapeutiques spectaculaires. Un modèle probabiliste pour l'immunothérapie du cancer / Benoît Perthame : "Comprendre les résistances aux thérapies anticancéreuses" / Des équations différentielles en oncologie / Les lois de la croissance tumorale / Une modélisation mathématique de l'évolution d'un cancer métastatique Dossier 4 : Nouvelles techniques médicales La géométrie, l'analyse de Fourier, la théorie des ondelettes ou encore l'analyse de données sont quelques branches des mathématiques qui sont sollicitées pour mettre au point des technologies innovantes dans les domaines de l'imagerie ou de la robotique. Les maths en imagerie médicale / Imagerie médicale, les maux en images / Les objets de santé connectés / Les maths du cœur Et aussi Les médecins matheux / La saga des courbes médicales / Nouvelle : la pustulite versicolore palpitante Et toujours Problèmes et solutions

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SOMMAIRE Mathématiques des assurances : les mal aimées? / Analyse, probabilités, statistiques : pour comprendre l'assurance / Des actuaires et des journaux Dossier 1 : Les secrets de l'assurance vie Les premières rentes viagères datent de l'Antiquité. Que de chemin parcouru pour aboutir au panel de contrats d'assurance vie dont on dispose aujourd'hui ! Pour arriver à proposer des produits adaptés à chaque profil, il n'y a pas de secret : il faut disposer de données fiables. Naissance et évolution des tables de mortalité / Comprendre les tables de mortalité / Ajuster les tables de mortalité aux observations / La tarification des assurances vie classiques / Mortalités prospectives Dossier 2 : Couverture accident Les particuliers essaient de mettre leurs proches à l'abri, les entreprises tentent de se prémunir contre les risques financiers ou ... climatiques! Comment les assureurs évaluent-ils les primes associées à chaque type de couverture? Les risques maritimes à l'origine des assurances / Prendre en compte les événements rares, des modèles en cascade / Comment tarifer a priori... sans a priori / La tarification a posteriori, une belle application des chaînes de Markov / La prime technique : pour une tarification efficace / Nouvelle : à l'Institut intergalactique, on assure ! Dossier 3 : Les horizons nouveaux Notre société est de plus exigeante en matière de couverture de risques, et de nouveaux champs d'application des assurances apparaissent régulièrement. Les produits classiques doivent évoluer vers plus de flexibilité. Se protéger contre les risques météorologiques / Le Big Data en assurance, des perspectives étonnantes / Produits d'assurance vie de nouvelle génération / Assurance vie ou épargne ? Les produits Universal Life / Les contrats en unités de compte / L'assurance dépendance Dossier 4 : Gérer des réserves, éviter la ruine Les premiers calculs mathématiques d'une prime d'assurance équitable ont abouti... à des faillites! C'est le problème du provisionnement qui n'avait pas été bien évalué. Provisionner et gérer ses réserves / Couvrir le règlement des sinistres, un défi pour l'assureur / Les compagnies d'assurance risquent- elles la faillite ? / Srinivasa Varadhan et les événements rares / Fortis, Dexia : les conséquences d'une mauvaise gestion / Il y a garantie et garantie /La gestion actif-passif Dossier 5 : Les retraites Le vieillissement des populations est un fait. Les systèmes de retraite doivent évoluer pour équilibrer cotisations des actifs et paiements des retraités, à qui il faut garantir une fin de vie digne. Un vieillissement irréversible de la population / Répartition ou capitalisation? Les clés pour comprendre / Entre capitalisme et solidarité, un choix de société / Les fonds de pension : késako ? /Les fonds de pension américains / Retraites en Belgique : à la découverte des trois piliers / Retraites : quel modèle pour l'évolution des mortalités? Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

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La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique. Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes. L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C'est l'occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s'appuyer : celui des fonctions, précisément ! SOMMAIRE Petit voyage à travers les âges : de l'expression à la fonction Dossier 1 : Le concept de fonction Une fonction f est un processus, une "boîte noire", qui, à partir d'un objet x pris dans un ensemble E, en fait correspondre un autre. Essayer de formaliser précisément cette idée naïve s'est révélé une belle gageure : des Babyloniens à Euler en passant par Newton et Leibniz, personne n'a su proposer une définition qui fasse l'unanimité! Fonction ou application? / Vous avez dit "affine"? / Fonctions + itérations = fractales / Les fonctions dans la nature / Les fonctions en informatique Dossier 2 : Continuité, dérivabilité, primitive La notion de dérivée d'une fonction en un point est un concept directement issu de la physique, qui permet d'exprimer de manière quantitative la vitesse d'un mobile à chaque instant. Il n'est pas vrai que toute fonction continue soit dérivable; il est moins facile d'imaginer qu'il existe des fonctions continues qui ne sont dérivables en aucun point! Continuité locale, continuité sur un intervalle / Provocantes fonctions discontinues / La controverse des cordes vibrantes / Effet de seuil : les aberrations de la discontinuité / Le théorème des valeurs intermédiaires / De la tangente à la dérivée / Souvent, fonction varie.../ Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse / Approximations et dérivées successives / Interpoler, extrapoler et approximer : trois idées complémentaires / Une approche primitive de l'intégration Dossier 3 : Courbes, graphes, équations Pour les algébristes de la Renaissance, la fonction est une sorte de "formule magique" qui permet d'obtenir une solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des coordonnées, les fonctions se transforment en graphiques, en courbes, en surfaces... avant de devenir plus abstraites. Courbes et fonctions / Des courbes pour dessiner / Équations algébriques : une histoire sans fin! / Équations différentielles et variations / Les fonctions de plusieurs variables / Quand la relation n'est pas bien définie : les fonctions implicites Dossier 4 : Nom d'une fonction ! Les fonctions sont la dynamique des maths. Elles nouent des relations entre les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques ...Les classifier en fonction de leur spécificité s'est naturellement imposé. Cette nomenclature a permis d'immortaliser les patronymes de savants comme Euler, Lagrange ou Tchebychev. Ces incontournables fonctions polynomiales / Les fonctions trigonométriques/ Discrètes et fondamentales : les fonctions arithmétiques / Euler et la postérité de son indicatrice / Monstrueuses fonctions! / Les séries de fonctions / Une nouvelle approche combinatoire : les fonctions génératrices / Les variables aléatoires / Les fonctions spécifiques aux statistiques / Analyse fonctionnelle : les opérateurs sont dans la place / Les distributions de Schwartz Et aussi Les fonctions dans la vie courante / Fonctions et manipulation / Elles ont un nom Et toujours En bref - Note de lecture - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Démonter : une histoire au long cours Dossier 1 : Les fondements de la preuve La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques, la différenciant des autres sciences. Tout au long d'une longue histoire, qui remonte aux Grecs de l'Antiquité et qui continue à s'écrire aujourd'hui, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien. Les bases de la logique / Cela existe, je l'ai démontré! / Bien choisir son axiomatique / Les limites de la preuve / Kurt Gödel, le vrai et le démontrable / Une démonstration peut-elle être purement visuelle? / Le rôle de l'analogie en mathématiques / Preuve et logique Dossier 2 : Les grands classiques Les différents modes de démonstration sont aujourd'hui bien établis. Certains datent de l'Antiquité, d'autres sont nés en France au XVIIe siècle. Le raisonnement par récurrence, qui est selon Henri Poincaré « une propriété de l'esprit lui-même », est plus récent. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donné... Démontrer : une grande variété de méthodes / Analyse et synthèse : une particularité des mathématiques / Pour un tiroir de plus.../ Comment trouver un bon invariant / La démonstration par récurrence / L'étrange axiome du choix / La récurrence et la base incomplète / Les joies du transport de propriétés / Cantor et les infinis Dossier 3 : De nouvelles formes de preuves Si les bases de la logique sont désormais bien établies, de nouveaux outils pour la démonstration continuent à être introduits en mathématiques. L'arrivée des ordinateurs pose plusieurs questions fondamentales: les algorithmes utilisés produisent-ils toujours un résultat, ou peuvent-ils boucler sans fin ? Peut-on distinguer un problème « facile » d'un problème « difficile»? Des calculs à n'en plus finir / Non, les problèmes ne sont pas tous de même difficulté! / Manipuler pour démontrer / Même le hasard peut créer des certitudes / La méthode d'exhaustion / L a théorie homotopique des types : de nouveaux fondements des maths ? Dossier 4: Les apports de l'informatique L'informatique théorique est la science qui nous a le plus obligés à repenser la notion de preuve. Les analogies entre démonstration mathématique et programme informatique sont maintenant bien établies. L'ordinateur offre des moyens de calculs inédits. Il devient même possible de certifier qu'une preuve mathématique est effectivement valide. La démonstration automatique : un enjeu crucial / Prouver rapidement qu'une propriété est vérifiée ... ou pas / Comment prouver son identité / Une preuve de maths est un programme informatique ! / Vérifier une preuve en n'en lisant que quelques lettres ! / Le "petit"théorème PCP / Réduire la taille d'une preuve Et aussi La preuve par le contre-exemple / Idées lumineuses Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes- solutions

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La présentation de Tangente Non, la finance n'est pas réservée aux initiés ! Son vocabulaire, qui nous fascine et nous obsède parfois, met en avant des mots comme « taux », « indices », « variations », « inflation », souvent empruntés à l'analyse mathématique. Et ce n'est pas un leurre.Pour exemple, le prix d'une option est fixé à partir de l'équation dite «de Black et Scholes» (ce dernier a obtenu le prix Nobel d'économie en 1997), et toute étude sérieuse des cours requiert une analyse statistique poussée. Cet ouvrage, à la fois accessible et technique, s'adresse à tous ceux qui rêvent d'avoir les clés pour comprendre les rouages du monde de la banque et de la finance sans avoir à suivre une formation spécialisée. De Monsieur Tout le monde, qui comprendra mieux le taux d'intérêt de son crédit, au professionnel de la Bourse qui comprendra les modèles, mais aussi le rôle et le fonctionnement des autorités de régulation. Une analyse de la gestion d'une crise permettra de fournir des réponses objectives au débat sur la validité des modèles mathématiques et leur responsabilité souvent (à tort) mise en avant. Le sommaire Taux d'intérêt et crédit La bourse Les marchés à terme et options Régulation et risque

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SOMMAIRE Mathématiques : chronologie de quatre siècles d'aventures / Les divisions du savoir dans l'Antiquité / Dupliquer un carré chez Platon / De l'astrologie à la science / La naissance des mathématiques Dossier 1 : Les civilisations Les mathématiques furent l'invention de toutes sortes de peuples, qui les pratiquèrent tantôt pour des raisons comptables, astronomiques ou religieuses, tantôt pour elles-mêmes. Les hommes voyagent, les peuples se rencontrent, les uns deviennent les passeurs du savoir des autres, tels les Arabes exhumant la science grecque ou offrant des chiffres d'origine indienne à l'Occident. La Grèce antique et sa zone d'influence / Alexandrie : sept cent ans d'histoire des mathématiques / La mystérieuse machine d'Anticythère / Babyloniens et Égyptiens / La méthode de Héron / Mathématiques indiennes : les origines / La science arabe racontée par Shéhérazade / Dans l'Amérique précolombienne / Le latin, langue des mathématiques Dossier 2 : Les personnages Les mathématiques antiques doivent leur développement à la passion de personnages remarquables, fondateurs d'écoles ou savants solitaires. Certains de ces grands noms, Pythagore, Euclide nous sont familiers. D'autres, comme Théétète ou Hypatie, sont moins connus. Dans cette partie, nous rendons aussi hommage à al-Khwarizmi, Zu Chongzhi, Aryabhata et d'autres grands savants orientaux. Thalès et l'ombre de la pyramide / Trois mathématiciens chinois / Les pythagoriciens : des maths ésotériques et secrètes : Deux mille ans avant Galois, Théétète / Euclide / Aristote / Archimède, le quadrateur / Aryabhata et Brahmagupta / Al-Kindi / Al-Khwarizmi, maître de l'algèbre / Thabit ibn Qurra / Le pape qui aimait les chiffres Dossier 3 : Les grands thèmes Comment calculaient les Anciens? Connaissaient-ils les objets mathématiques qui nous sont aujourd'hui familiers? Comment abordaient-ils les grands concepts mathématiques? Dans ce dossier, on délaisse nos calculatrices modernes pour goûter aux joies du maniement de l'abaque. On compare l'efficacité des systèmes de numération. On redécouvre les premières réflexions sur la nature du nombre, l'invention du zéro, la manipulation - prudente- de la notion d'infini Écrire les mathématiques / Une histoire d'inconnues / La découverte des grandeurs incommensurables / Pourquoi les Grecs n'ont-ils pas inventé l'algèbre? : L'invention de la trigonométrie / Des chiffres " romains " aux chiffres " arabes " / Les naissances multiples du zéro / L'infini, potentiel ou actuel ? / L'abaque grec et la calculette romaine / Les polyèdres dans l'Antiquité / Un recueil mathématique vieux de douze siècles Et toujours en bref - jeux et problèmes - solutions

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SOMMAIRE Angles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide / D'Euclide à Hilbert / Les multiples personnalités de l'angle / L'angle, un concept ambivalent / Quelques inégalités angulaires / Dans le triangle / Les angles opposés par le sommet Dossier 1 : Les angles en géométrie classique Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Les outils qui permettent de les construire sont connus de tous : règle, compas, rapporteur Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à commencer par sa définition! Le théorème de l'angle inscrit / Les rotations et symétries, des transformations qui tournent bien / Tous les triangles sont-ils équilatéraux? / le billard, une affaire à rebondissements / Sous l'angle des symétries / Angles et lunules quarrables / L'exponentielle complexe / Courbes orthoptiques et friandises géométriques / Les transformations conformes Dossier 2 : La trigonométrie La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle est pourtant d'une importance capitale pour se repérer , tant en mer que dans l'espace. L'approche géométrique des nombres complexes lui a donné ses lettres de noblesse. Du théorème de Pythagore à une formule de trigonométrie / Le théorème des sinus / Angles, fonctions hyperboliques et génie électrique / Angles, produit scalaire et orthogonalité / L'astronomie, grande consommatrice de trigonométrie Dossier 3 : Mesurer les angles Le plus simple pour mesurer un angle est de prendre son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des angles sur le terrain, entre des éléments de paysage? Ou en mécanique de précision? Ces questions nécessitent de revenir au sens physique de l'angle. D'où nous viennent les degrés / La mesure des angles / L'arc de sinus, d'al-Khawarizmi à Apian / Le dos de l'astrolabe, alidade et carré des ombres / L'astrolabe planisphérique / Faisons le point/ Des angles dans tous nos outils / Des phases qui nous font tourner la tête! Dossier 4 : La géométrie dans l'espace Dans l'espace, la notion d'angle solide s'inspire de celle d'angle du plan. À la différence près que si les rotations du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la même manière L'angle solide / Les systèmes élémentaires de coordonnées / Des géométries sous un nouvel angle / Les coordonnées géographiques / Toutes latitudes / Les rotations, si simples avec les quaternions!/ Quand les atomes s'organisent / Une notion d'angle même dans des espaces très abstraits Et toujours En bref, le dictionnaire des angles, notes de lecture, références, problèmes et solutions

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SOMMAIRE Peut-on définir une esthétique des mathématiques?/ Ô mathématiques sévères / Quelques passerelles entre arts et maths Dossier 1 : La beauté intrinsèque des mathématiques Tous les mathématiciens vous le diront: les mathématiques sont belles. Il est cependant parfois difficile pour le profane de saisir le sens d'une telle affirmation. Qu'est-ce qui peut susciter le sentiment esthétique dans un domaine aussi abstrait? Quelle belle démonstration!/ Un problème résolu perd-il son attrait? / La beauté cachée des structures géométriques / Élégance et mathématiques / Faire des maths par plaisir.Perversion, réalité ou utopie? / L'esthétique de l'illusion : quand l'ellipse devient parabole / L'esthétique génératrice d'une erreur chez Fermat / Les "bonnes mathématiques" selon Terence Tao / Belles démonstrations Dossier 2 : La beauté artistique révélée par les maths Qu'ils soient peintres, poètes ou compositeurs, nombre de créateurs utilisent, consciemment ou non, des processus qui peuvent être analysés grâce aux mathématiques. La littérature et la musique s'y prêtent à merveille, mais, au-delà de la symétrie, la photographie et les arts plastiques permettent des dialogues inattendus avec les mathématiques. Des arts qui rencontrent les maths / Les évolutions se l'art fractal / La photo pour illustrer les maths / Ces écrivains qui parlent maths/ Léo Ferré, la poésie des mots mathématiques / Léo Ferré ,la poésie des mots mathématiques / Surprises littéraires d'un arithmomane / La symétrie dans la poésie française / L'accord parfait, si beau car math/ Maths'b'pop : géométrie et symétrie au servie de la chanson / Esthétique photographique, moyenne et médiane statistiques / Bouquet de pensées esthétiques Dossier 3 : Éthique et mathématiques Les mathématiques sont peut-être, plus que toute autre discipline scientifique, un trait d'union privilégié entre le beau et le bon. Leur utilisation dans des sujets sensibles comme la guerre, la finance ou l'assurance-vie, le rôle d'outil de sélection qu'elles jouent dans l'enseignement, peuvent alors être questionnés. De l'esthétique à l'éthique par les maths / L'exigence de la preuve est-elle une éthique?/ Les maths dans la formation citoyenne / Racisme et maths: incompatibilité / Les maths comme outil de sélection/ Bouquet de pensées éthiques / Aux origines de l'éthique scientifique / Modèles mathématiques et crise financière / L'éthique des maths en finance / L'assurance-vie sous un éclairage éthique/ En bref Dossier 4 : Éclectique Jacques Bair À l'occasion du départ à la retraite de Jacques Bair, Tangente consacre un court dossier à l'un de ses collaborateurs les plus dévoués, qui s'est investi corps et âme dans la diffusion des mathématiques en s'appuyant sur ses passions (ses « tics » diraient certains) : l'analyse non-standard et les mathématiques de la gestion. Jacques Bair : de la convexité à la didactique / Analyse classique ou analyse non standard? / Le Chat de Geluck préfère l'analyse non standard Et toujours Problèmes de toute beauté - solutions - en bref

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SOMMAIRE Dossier 1 : Grands mathématiciens français Les grands mathématiciens français ne se sont pas tous enfermés dans leur tour d'ivoire. Quelques-uns d'entre eux ont fait plus que produire de brillants résultats: ils Ont marqué leur temps et porté haut les couleurs de la France par l'influence qu'ils ont eue. Descartes, le doute comme méthode / Pierre de Fermat, la saga d'un théorème / Blaise Pascal, entre coeur et raison / D'Alembert et la factorisation des polynômes / Joseph Fourier, la physique mathématique / Galois, génie et héros romantique / Henri Poincaré, toujours aussi actuel / La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré / L'histoire extraordinaire de Nicolas Bourbaki / Mandelbrot, l'inventeur des fractales / Jean-Pierre Bourguignon, ambassadeur de la recherche / Cédric Villani, l'ambassadeur par excellence Dossier 2 : Les vulgarisateurs Ils aiment les mathématiques, mais ils ont surtout envie de les faire aimer. Pour s'adresser au public, ils ont su utiliser les facettes les plus aimables de la reine des sciences, en les déclinant pour toucher toutes les sensibilités. Portrait de quelques-uns de ces acteurs souvent peu connus. Bachet de Méririac, le premier " passeur " / Edouard Lucas, ludographe et mathématicien / Ceux qui ont fait Tangente / Portrait : Gilles Cohen / Jean-Pierre Boudine : à propos de "UN" / Le CIJM/ Pierre Berloquin, des livres et des jeux / Les jeux du monde / Il y a autant de points sur une droite que dans un plan!/ Philippe Boulanger : plus fort qu'Einstein Dossier 3 : Les écrivains Ils ont un talent d'écriture reconnu, ils aiment les mathématiques et ils ont envie de le faire savoir. Certains ont été des écrivains reconnus avant de faire connaître ce goût et de contribuer à la diffusion de l'image des mathématiques. D'autres sont « matheux » à l'origine ont réussi, grâce à leur talent littéraire, à mettre en scène les mathématiques et à faire parler d'elles. Ambassadeurs littéraires des mathématiques / Culture scientifique et culture générale : Denis Guedj, l'amant des maths/ L'invraisemblable nombre Oméga / Paul Valéry et les maths / Analogie et transport de prorpiétés / La révolution des sept ponts / Le boss des maths / La gardienne des lieux Dossier 4 : Math Quiz Et si on s'amusait un peu pour finir ce hors série? Avec les maths et avec la langue française? En distinguant les connaissances des idées reçues? Douze petits questionnaires aux thèmes variés vous attendent, créés à l'occasion des 25 ans du magazine Tangente. Le triangle / Les nombres premiers / Les maths français / Les revues et livres mythiques / Les polygones / Les courbes / Les grands théorèmes / Probabilités et statistiques / Les citations / L'algèbre / Le cercle / La trigonométrie / Solutions

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SOMMAIRE Aux origines de l'intégrale / Newton vs Leibniz / L'accueil mouvementé du calcul intégral / De Cauchy à Lebesgue / Le surplus du consommateur / L'intégration en physique / L'Able intégrale Dossier 1 : L''intégrale de Riemann L''intégrale, outil analytique par excellence, répond à l''origine à un besoin de nature géométrique: calculer l''aire délimitée par des courbes du plan. Aire et intégrale / La quadrature de la cycloïde / La construction de l'intégrale de Cauchy / Les sommes de Darboux et de Riemann / L'intégrale de Riemann / L'intégrale pour mesurer des grandeurs / Les formules de la moyenne Dossier 2 : Les bases du calcul intégral Une fois l''intégrale définie et son usage délimité, se pose la question de son calcul. Si certaines méthodes n''exigent qu''un minimum de technique, la plupart des intégrales nécessitent un calcul qui passe par la détermination de primitives de la fonction à intégrer. De la primitive à l'intégrale / L'intégration par parties / La technique du changement de variable / Les règles de Bioche / Les méthodes de quadrature /Les méthodes de quadrature / Calcul approché d'intégrales / Les méthodes de Monte-Carlo / Les théorèmes de Guldin / L'élégance de l'intégration terme à terme / La formule de Wallis Dossier 3 : Extensions de la notion d''intégrale L''histoire de l''intégrale ne s''arrête pas avec Riemann, ni même avec Lebesgue! Sa construction non plus. De nombreux mathématiciens ont cherché à étendre la notion d''intégrale à des classes de fonctions de plus en plus générales, pour simplifier la présentation ou pour les besoins d''une application. Les intégrales multiples/ L'intégrale de Stieltjes / Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue / Y a t-il une intégrale après Lebesgue? / Le passage difficile de l'intégrale de Riemann à l'intégrale stochastique / Dérivées et intégrales dans le monde des 0 et des 1 / Intégration dans le plan complexe : le théorème des résidus / La puissance de l'intégration fractionnaire / Les intégrales de Coxeter Dossier 4 : L''intégrale en analyse L''intégrale est omniprésente en mathématiques et dans les applications. Elle intervient aussi bien en physique qu''en théorie du signal ou en tomographie, et dans pratiquement tous les domaines de l''ingénierie et de la finance. Convergence d'intégrales impropres / Intégrales de Fresnel, intégrale de Poisson / Suites et fonctions définies par une intégrale / Calcul de pi / Les intégrales eulériennes / La transformée de Laplace / Série et transformée de Fourier / Les atouts de la comparaison entre série et intégrale / Intégrales de bases / Le produit de convolution Et toujours En bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Impossibles ces figures? / Littlewood, le mathématicien qui tutoyait l'impossible Dossier : 1 C'est impossible, on l'à montré! De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Certains sont devenus de grands classiques. La quadrature du cercle/ La trisection de l'angle / Impossible est-il géométrique? / Rapports d'engrenages impossibles: comment ne pas se casser les dents / Des imaginaires parfois complexes / Quand des systèmes élémentaires sont impossible / Systèmes linéaires impossibles et inverses généralisés / Raymond Queneau et les équations de degré 5 / Un découpage paradoxal et néanmoins rigoureux / Théorème d'impossibilité relatifs à des élections / Algorithmes numériques impossibles Dossier 2 : Variations autour de la notion de preuve Les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur. En mathématiques, ces questions reçoivent le nom de conjectures. Parfois des démonstrations sont fournies, mais si difficiles à reproduire qu'un doute subsiste sur leur validité. L'outil informatique peut alors être d'un grand secours. La notion d'axiome à travers les siècles / Le statut particulier des conjectures / Les grandes conjectures / L'impossible de Gödel : la fin d'un rêve / Des preuves inacceptables ?/ Les grands théorèmes / Le monumental théorème de Feit-Thompson reçoit une preuve formelle /Quand les calculs deviennent impraticables Dossier 3 : Ils existent, mais où sont-ils ? En mathématiques, il est possible de démontrer que des objets existent sans jamais les exhiber. On parle alors de preuves non constructives. Cela pose sous un angle nouveau la question de l'existence en mathématique: suffit-il de définir un concept pour lui donner vie, ou doit-on explicitement le construire ? L'échelle de l'existence mathématique / Impossibles, les événements de probabilité nulle? / Les infinitésimaux nilpotents pour l'analyse / Les fonctions réciproques / Les fonctions implicites Dossier 4 : Jouer avec l'impossible Il est facile, si l'on n'y prend garde, de tomber dans le piège d'un raisonnement subtilement erroné. Plusieurs paradoxes reposent sur de telles manipulations. Des esprits curieux vont alors explorer les conséquences des règles de la logique, par exemple pour résoudre un problème d'apparence impossible dont il semble que toutes les données soient manquantes. Le problème impossible / Un problème impossible et néanmoins soluble!/ Magiciens de père en fils / Paradoxes et démonstrations paradoxales / Les bijections inattendues / On va faire un petit tour... en base 4 / Ces extraordinaires courbes de remplissage / Les jetons bicolores / L'égalité de tous les réels ou le théorème de l'impôt cible / Impossible, même à un Dieu omnipotent? / Les chaussettes de Ramsey / Les trois dès Et toujours en bref - notes de lecture - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Invariants et lois mathématiques / Des invariants pour jouer / Les invariants en linguistique / Bienvenue au pays des invariants empiriques / La loi des levées totales au bridge / Les invariants comme outils de preuve Dossier 1 : Les invariants en arithmétique L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Pourtant, il permet déjà de résoudre une multitude de problèmes et de comprendre bon nombre de casse-tête. La parité permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin ne peut être résolu. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences ou la signature des permutations sont utilisés, par exemple pour confectionner des codes correcteurs d'erreurs. Parité et congruences / Les effets magiques des invariants / Le Taquin et le nombre d'inversions / Signature d'une permutation / Compter les drapeaux et les colliers / "Ce qui ne varie pas" / Des invariants pour décrypter / Les codes correcteurs d'erreurs / Bibliographie / Problèmes / Solutions Dossier 2 : Les invariants en géométrie Comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles? La réponse fournie par Felix Klein repose tout entière sur la notion d'invariant. Depuis, les invariants sont omniprésents: la recherche de points fixes, de propriétés ou de lieux fait généralement intervenir un invariant géométrique. Transport de propriétés par les transformations géométriques / Invariance globale, invariance point par point / Résoudre le Rubik's Cube / Invariance en géométrie / L'invariant de Dehn / Le birapport / Invariance par dualité / D'où la photo a-t-elle été prise? / La caractéristique d'Euler-Poincaré / Les polyèdres de Platon sont-ils des invariants? / Les invariants et le programme d'Erlangen Dossier 3 : Les invariants en analyse et en typologie L'introduction par Henri Poincaré de nouveaux inva¬riants en topologie à la fin du XIXe siècle constitue un progrès scientifique majeur. Quelques années plus tard, Emmy Noether explique comment les lois de la physique découlent de la recherche d'invariants mathématiques. théorèmes de point fixe / Les suites récurrentes et le point fixe / La méthode de la descente infinie de Fermat / Un déterminant discriminant / Les règles d'intégration de Bioche / Les invariants topologiques / Invariants en théorie des noeuds / Emmy Noether et les invariants en physique / Les invariants de classe, au service de la qualité logicielle Et toujours en bref - notes de lecture

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SOMMAIRE La Société informatique de France / Le Prix Bernard Novelli / Les perspectives de l'informatique au XXIème siècle / Informatique, popularisation et médiation / Intelligence artificielle et philosophie Dossier 1 : Mathématiques pour l'informatique L'informatique n'existerait pas sans les mathématiques. Les procédures qu'elle utilise, les algorithmes et les structures de langage qui permettent la programmation, la vérification de programme s'appuient sur des théories mathématiques dont certaines ont été algèbre de Boole, notion de complexité ont apporté à l'informatique le support théorique qui en fait une science à part entière. La préhistoire de l'informatique / Babbage et le premier ordinateur potentiel / Le programme de Lady Ada King / Les messages qui se corrigent tout seuls / Alonzo Church, Alan Turing et la calculabilité / Algèbre de Boole / Langages et récursivité / Langages rationnels et automates finis / Complexité de Kolmogorov et profondeur logique de Bennett / Comment éliminer les spams Dossier 2 : Informatique pour les mathématiques Comme toute progéniture reconnaissante, l'informatique a bien rendu aux mathématiques ce qu'elle leur droit. L'expérimentation, la simulation, le calcul haute performance, la démonstration automatique sont quelques-unes des nombreuses portes ouvertes par l'informatique aux mathématiques. Mathématiques expérimentales / Les automates cellulaires et le jeu de la vie / Démonstration, l'ordinateur à la rescousse / Espaces de Banach et informatique théorique / Le problème fondamental de l'informatique théorique: P est-il égal à NP? / La simulation numérique / Le calcul haute performance / Quelques problèmes de calculs Dossier 3 : Des applications qui changent le monde Mathématiques et informatique, une équipe gagnante. Que d'applications de ce partenariat talentueux voient régulièrement le jour! Compression des images, cryptographie, sécurité informatique... L'utilisation des modèles mathématiques sophistiqués agissant sur les données massives ( en finance, biologie, commerce...) fait même débat dans la mesure où elle pose des questions d'éthique inédites. Images numériques, du pixel à la topologie / La méthode de Monte-Carlo : application à un investissement financier / Pirater un site ou une messagerie / Limiter la collecte des données personnelles : un problème juridique NP - difficile / Le langage des molécules du vivant / GroLopin et les plans projectifs finis / Le traitement du signal / Protégez-vous des hackers! / Le Cloud / Le classement des pages par les moteurs de recherche / Entre le robot et l'homme, les mathématiques / La cryptographie, à l'origine de l'informatique Et toujours En bref, problèmes, solutions et notes de lecture

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SOMMAIRE Les échecs et les grains de riz / La naissance de la théorie des jeux / Les frères ennemis / Une typologie des jeux Dossier 1 : Les jeux à information complète Les jeux qui se prêtent le plus naturellement à une étude théorique sont les "duels de réflexion pure à information complète", qui opposent deux joueurs disposant de toute l'information à chaque instant et ne faisant pas appel au hasard. Les échecs, les dames, les jeux de Nim en sont des exemples. Un graphe pour représenter un jeu / Les jeux de Nim / Information parfaite ou imparfaite / Les jeux de Nim infinis / Martin Gardner et ses successeurs / Les premiers paradoxes Dossier 2 : Les jeux à l'information incomplète Qu'est-ce qui va bien pouvoir différencier les "jeux à information incomplète " des duels de réflexion pure à information complète ? On le devine aisément : c'est soit l'intervention du hasard, soit l'asymétrie de l'information disponible pour les différents joueurs! Les jeux à information incomplète / La vente du billet de cent euros / Le désastre de Waterloo / La stratégie moderne / Les ventes aux enchères / L'auteur, le texte, le lecteur : trois joueurs / Les jeux de lutte et de coopération / L'équilibre de Cournot Dossier 3 : Les probabilités dans la théorie des jeux L'une des composantes de nombreux jeux est le hasard. Et qui dit hasard dit probabilités. Mais qu'il soit possible d'étudier les composantes aléatoires d'un jeu est une idée qui ne remonte qu'au XVIIème siècle! Pascal et Fermat / Roulette et martingales / Peut-on faire fortune au casino?/ Le théorème de la ruine certaine / Le paradoxe de Saint-Pétersbourg / De l'impossibilité de quantifier le hasard / L'optimisation du choix / Le poker / Le poker est un jeu de hasard... et de stratégie / Topologie des mains de départ / Valeur de votre tapis: l'Independant Chip Model / Le théorème des cotes Dossier 4 : Jeux de société, jeux dans la société Vivre dans une société organisée suppose d'accepter des règles communes et de les respecter. De là à créer un monde fantastique dans lequel l'imaginaire va être mis à contribution, il n'y a qu'un pas, qui fait des jeux une composante essentielle de notre société. De la persistance des règles de jeux / Le meilleur coup aux échecs / Le jeu de Hex / Enquête sur ka Récréation mathématique / L'awalé / Informatique et jeu / De la triche aux échecs / Le jeu de la vie / L'analyse rétrograde / Le glaive et la puce Dossier 5 : Jeux et enjeux On retrouve les jeux dans la modélisation de problèmes de la vie courante, qui gagneraient parfois à être reformulés et étudiés à l'aide de la théorie des jeux. Les gendarmes et les voleurs / Jouez-vous des embouteillages / Jeux littéraires / Les finales aux échecs / A vous de jouer! / Solutions Et toujours en bref -note de lecture - jeux - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Mathématiques et pouvoir "Gouverner, c'est prévoir" selon Émile de Girardin. L'art de la prévision étant régi par les mathématiques, on peut s'attendre à ce que les hommes d'État accordent grand crédit à cette discipline. Pourtant, les hommes politiques français des dernières années semblent fâchés avec les mathématiques, dont ils n'ont de cesse de diminuer l'influence dans l'enseignement. La théorie des jeux pour modéliser la politique / Les révolutionnaires / Le principe de précaution / Quand mathématique rime avec politique / Pouvoir, mathématique et dérives mystiques / Astrologie et pouvoir / Jacques Attali, entre culture, mathématiques et pouvoir / La courbe de Plouffe / La logique de la Constitution / L'Académie des sciences, passerelle avec le pouvoir / L'homme moyen Dossier 2 : Les élections On pourrait croire que l'opinion des citoyens d'un pays démocratique s'exprime simplement par le biais des élections. Les choses sont beaucoup plus complexes. Quel que soit le système électoral, des choix techniques peuvent modifier considérablement le résultat des scrutins et conduire à d'étonnants paradoxes. Modéliser les préférences / Les paradoxes du suffrage universel / Le paradoxe du vote / Intérêt collectif versus intérêt individuel / Ne pas se fier aux apparences / L'inaccessible idéal de la démocratie parfaite / L'élection dans les États fédéraux / Le découpage électoral : stratégie ou magouille? / Les jeux, Internet et les élections / Manipulations légales / Les algorithmes de la proportionnelle / La méthode de D'Hondt / Cryptographie et vote électronique Dossier 3 : Statistiques et sondages Les statistiques, discipline récente des mathématiques, sont omniprésentes dans le monde d'aujourd'hui. C'est à elles que le langage journalistique emprunte le plus de termes : moyenne, estimation, échantillon, expérience, test, sondage. Ce sont justement aux sondages, un outil qui va bien au-delà de la simple mesure des opinions, que ce dossier s'intéresse en profondeur. Le pouvoir relatif des statistiques / Une brève histoire des outils statistiques / Du budget des familles à l'indice des prix / 20 000 selon la police / Coup d'oeil sur le recensement / Les Français paient-ils trop d'impôt? / Les Français, les statistiques et les hôpitaux / La croissance de l'espérance de vie / Des cahiers de doléances aux sondages / Le sondage qui aurait toujours tort / Marges d'erreur et méthodes de redressement / "La transparence des sondages est une nécessité " / Méthode aléatoire et méthode des quotas / Laplace, le hasard et les lois universelles / Cette pièce est-elle truquée? Dossier 4 : Retraites, assurances, impôts Ce sont encore les statistiques qui président à la plupart des actes de la vie économique et politique : fixation des impôts ou des primes d'assurance, spéculations boursières, évolution des salaires, règles du départ à la retraire. Autant de domaines où les politiques ne peuvent faire abstraction des mathématiques. Économie et politique, le fossé grandissant / Le problème des retraites et les comptes notionnels / Les primes d'assurance-vie / Mesurer la délinquance / Peut-on simplifier l'impôt? / La courbe de Laffer : trop d'impôt tue l'impôt Et toujours en bref -note de lecture - jeux - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : Systèmes linéaires et transformations géométriques Les matrices, ce sont ces tableaux de nombres sur lesquels on peut définir des opérations naturelles. Ces objets algébriques permettent de modéliser naturellement les systèmes d'équation linéaires. Plus surprenant est leur rôle dans la description des transformations géométriques : les matrices leur ouvrent des horizons inattendus ! Espaces vectoriels : l'algèbre à l'assaut de la géométrie / Des matrices pour transformer / Le sens du déterminant / Transformations affines et points invariants / Systèmes linéaires et matrices / Comment rentrer dans le rang / Les nombres complexes comme ensemble de matrices / Le théorème de Cayley-Hamilton / Les fonctions homographiques Dossier 2 : Réduction de matrices Une matrice existe généralement sous différentes formes, ou plusieurs déguisements. Ainsi, pour pouvoir "lire" directement les propriétés d'une matrice. Il est utile de chercher la forme " la plus simple " qu'elle peut revêtir. Le pivot de Gauss en est un bon exemple : la nouvelle forme de la matrice ( triangulaire) permet une résolution immédiate d'un système linéaire. Diagonaliser pour calculer les puissances d'une matrice / Le pivot de Gauss / Similitude et diagonalisation / Diagonalisation, géométrie et algèbre / La trigonalisation / Manipuler des matrices avec un tableur Dossier 3 : Les matrices sont partout! Que l'on soit ou non mathématicien, les matrices nous environnent. La planète Neptune a d'abord été découverte sur le papier, grâce à un proto-calcul matriciel, avant d'être effectivement observée. L'économie, l'actuariat et la finance sont friandes de matrices. L'électronique, l'informatique et toutes les sciences ne peuvent s'en passer. Il est temps d'apprendre à reconnaître ces objets! Agrandir les images sans perdre en qualité / Partout en physique, des matrices / La trilatération / Les matrices actuarielles / Les tableaux entrées - sorties en économie / Matrices élémentaires en économie / Matrices et codes secrets / Les hommes préfèrent les grosses... matrices / Calculs matriciels en statistique multivariée / Les matrices d'Hadamard / Problèmes de géo-matrices Dossier 4 : Des matrices et des jeux Un grand nombre de jeux font intervenir des tableaux de nombres. Ainsi, derrière chaque jeu de grille logique, chaque sudoku, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution. Mais les matrices se nichent parfois là où ne les attend pas : dans les jeux littéraires, l'écriture sous contraintes les a depuis longtemps déjà mises à contribution. Les carrés magiques : des matrices comme les autres / Divertissements littéraires / Les matrices sudokus / Les matrices lumineuses du Light Out / Problèmes / Les carrés magiques / Solutions Et toujours en bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE A la recherche des inconnues Partages et héritages amenaient déjà les Anciens à résoudre des équations sans le savoir. Au fil des siècles, la manière d'aborder les équations et leurs méthodes de résolution ne cessèrent d'évoluer. Dossier 1 : Résolution exacte De simples manipulations algébriques permettent de résoudre toutes les équations de degré au plus 4. C'est Galois qui établie l'impossibilité de poursuivre ces manipulations avec succès pour le degré 5. Au temps du certificat d'études / A la recherche des racines évidentes / Les manipulations algébriques / Rafaele Bombelli / Cardan, Tartaglia et le troisième degré / L'équation du scribe Ahmes / Qu'est-ce qu'un groupe? / Évariste Galois / Le premier article de Galois / Les équations réciproques / L'impossibilité de Galois / Les équations sur le comptoir / L'esprit de l'escalier Dossier 2 : Résolution géométrique ou graphique La découverte du premier irrationnel remit en cause la représentation des grandeurs. Elle amena les Grecs à s'intéresser aux solutions d'équations constructibles à la règle et au compas. Le premier irrationnel / Un problème d'algèbre à la règle et au compas / Le problème des deux échelles / Des équations, mais pas de calculs! / Les nombres constructibles / L'étoile en or / Les courbes à résoudre / Les abaques Dossier 3 : Résolution numérique approchée Faute de trouver à une équation des solutions rationnelles exactes, on peut en obtenir des approximations rationnelles très fines grâce à des méthodes itératives. La plus simple est la dichotomie. Quant à la méthode de Newton, elle a pris sa pleine puissance grâce aux ordinateurs. Les lunettes itératives / Où sont les racines ? / Joseph-Louis Lagrange / Autour du théorème de Sturm / Des racines au goutte à goutte / Al Khwarizmi / L'équation du beau / François Viète / Quel est le taux effectif d'un emprunt? / La méthode de Bairstow Dossier 4 : Au-delà des équations En cherchant à résoudre les équations algébriques, les mathématiciens firent des découvertes dépassant de loin ce domaine : les nombres complexes, la transcendance, la théorie de Galois et bien d'autres Jean le Rond d'Alembert / Les anneaux de polynômes / Les livres à équations / Le champ des complexes / Karl Friederich Gauss / Puiseux et les coefficients en t / Algébriques et transcendants Dossier 5 : Énigmes policières, équations à problèmes Bien des problèmes de mathématiques, célèbres ou pas, se ramènent à la résolution d'une ou plusieurs équations. Il en est de même des énigmes des romans policiers. Diophante et ses équations / Pierre de Fermat / Le problème des bœufs du Soleil / Le crime en équation / Flair policier / L'hyperbole du crime / L'équation des prisons Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Les onze états du taureau de Picasso / Tous les chemins mènent à Königsberg Dossier 1 : Les types de graphes Quelques points et des traits pour les relier suffisent à créer un graphe. Une idée aussi simple se devait d'engendrer un monde foisonnant d'objets: les idées les plus élémentaires sont souvent les plus riches! Les graphes planaires / Quand les chemins ne se croisent pas / Gardons le sens de l'orientation et restons pondérés! / Obstruction et stabilité / Les matrices entrent en scène / Le graphe de l'amitié et le moulin à vent / Des arbres au secours des probabilités / Des graphes et des surfaces à partir d'un carré / Le théorème des quatre couleurs / Colorier, un défi innocent et redoutable / Le théorème des graphes parfaits / Cliques et théorème de Turan/ La formule d'Euler et les solides de Platon / Le polyèdre de Czàszàr, un monstre topologique / Diagrammes de Schelegel : les polyèdres sont des graphes! Dossier 2 : Des applications à la vie quotidienne De par leur structure purement topologique, les graphes sont un puissant outil d'aide à la décision. Ils sont utiles pour planifier et ordonnancer les tâches dans une chaîne de production, gérer les priorités dans un projet, ou hiérarchiser les étapes dans une suite d'instructions informatiques... La fourmi et le problème du voyageur de commerce / Un projet dans le bon ordre, la méthode PERT /L'algorithme de Dijkstra / Quand le chemin se joue aux dés / Un problème de téléphonie mobile / Desa rbres pour faire passer les trains / Comment éviter les bouchons / Un arbre pour le théâtre / Entre sens et texte / Les livres dont vous êtes le héros Dossier 3 : Dans L'informatique Que serait la théorie des graphes aujourd'hui sans l'informatique ? Qu'il s'agisse de trier des données, de compresser des fichiers ou de rechercher un mot dans un texte, on retrouve partout une structure de graphe dans un ordinateur. Parler à son ordinateur / Retrouver un mot dans un texte / Les réseaux de neurones / Des listes autrement qu'en ligne / Des arbres à compresser Dossier 4 : Jeux de graphes La théorie des graphes permet de comprendre, voire de résoudre une grande quantité de jeux de réflexion ou de jeux mathématiques et logiques, parfois de manière inattendue (voir à ce sujet le numéro 46 de la Bibliothèque Tangente). A contrario, les graphes peuvent être à la source d'une catégorie de récréations dont les plus classiques sont des problèmes de labyrinthes. Arbres, jeux et stratégies / Graphes sur un échiquier / Algorithmes en graphes / Graphes et labyrinthes / Résoudre des énigmes à l'aide des graphes / Jeux et problèmes / Solutions et en bref

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SOMMAIRE Editorial / La société d'Arcueil, au service des jeunes savants Dossier 1 : Evolution et modèles Nul ne peut ignorer aujourd'hui l'importance de la chimie dans le fondement de notre vie et de notre avenir. Car cette science est à la fois très ancienne et toute jeune. Ancienne par ses questionnements sur la matière et sur l'évolution du monde, jeune dans le développement de modèles prédictifs et explicatifs pertinents, dont les plus sophistiqués s'appuient sur des conceptions mathématiques d'une grande modernité. Une petite histoire de la chimie mathématique / De la désintégration à l'embrassade / Le calcul, indispensable à l'expérience / La chimie mise en équation / Histoire et destinée du tableau de Mendeleïev / L'âge de la Terre / La découverte de Fourier : même le feu est régi par les nombres / La naissance de la chimie quantique / Une algèbre pour comprendre les structures électroniques des atomes et des molécules Dossier 2 : Aux frontières de la physique La chimie se partage avec la physique l'étude de la structure de la matière et des grandes lois qui régissent son comportement. Pas étonnant, donc, qu'un chimiste soit amené à jongler avec thermodynamique, mécanique quantique ou encore mécanique statistique. Structure atomique, liaisons, équilibres sont autant de notions fondamentales qui ne peuvent se comprendre sans l'éclairage des théories de la physique. L'énergie chimique dans tous ses états / Diamants sur paillasse / Les mystères de l'entropie / L'homme qui valait deux Nobel / Les urnes d'Ehrenfest / La loi d'Arrhenius / Boltzmann et l'irréversibilité, une histoire de probabilité... / Pourquoi la glace flotte dur l'eau / Équilibres et réactions Dossier 3 : Structures moléculaires et réactions La chimie s'intéresse à la fois aux propriétés des molécules et à leurs transformations les unes en les autres. Elle nous mène donc de l'échelle microscopique, qui est celles des atomes constituant les édifices moléculaires, à celle, macroscopique, des réactions chimiques que nous observons. Que l'une soit la clé de la compréhension de l'autre, c'est là le grand secret du chimiste! Cayley et le calcul des isomères chimiques / Un prix qui dynamite! / Le cristal, joyau de la nature, chef-d'oeuvre du chimiste / Le "démon" de Prigogine / Cristallographie et polyèdres : de Haüy à Fedorov / L'énigme de la chiralité / Le pH, les logarithmes et des cas limites / Structures cristalline ionique, constante de Madelung et énergie réticulaire / Les secrets mathématiques de l'équation de réaction / Les réactions oscillantes Dossier 4 : La chimie de pointe, les enjeux, l'actualité La chimie de demain sera-t-elle mathématique? Le décloisonnement des disciplines amène de plus en plus de scientifiques ( physiciens, mathématiciens, biologistes, informaticiens, astronomes, ingénieurs...) à la rencontre des problématiques des chimistes. Chimie interstellaire / Contrôler les molécules / Les fractales en génie chimique : de biologie en technologie chimique et énergétique / Traquer la structure d'une protéine jusque dans l'espace réciproque / La pile en deux temps, trois mouvements / Des nanoparticules d'or pour optimiser nos ordinateurs? / L'analyse en composantes principales, technique fondatrice de la chimiométrie Et toujours En bref - note de lecture - photomathons - jeux - problèmes - mathématiques récréatives - solutions

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Les mathématiques : outil fondamental des sciences du vivant ? C'est ce que suggèrent de nombreuses constatations : la présence dans la nature de structures mathématiques complexes (spirales, fractales, symétrie dans la nature...), les capacités cognitives des chimpanzés, les alvéoles des abeilles ou la géométrie complexe des toiles d'araignées... Des modèles théoriques, validés par l'expérience, permettent d'appréhender de nombreux phénomènes biologiques complexes, tels les équilibres entre proies et prédateurs ou l'étude du comportement collectif des oiseaux et bancs de poissons. Enfin, le séquençage des génomes et le fonctionnement du cerveau semblent eux aussi suggérer que les mathématiques, loin d'être le propre de l'homme, seraient en fait le propre du vivant.