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SOMMAIRE Dossier 1 : Les suites élémentaires Bien que récemment théorisées, les suites se sont composées comme un incontournable outil de l'analyse. Les plus simples d'entre elles font partie de notre quotidien. Qui n'a jamais entendu parler des suites arithmétiques et géométriques, ou de la suite de Fibonacci? Relations de récurrence en économie / Les trésors inépuisables de la suite de Fibonacci / Suites à récurrence linéaire ou affine / Gauss et la moyenne arithmético-géométrique / Une encyclopédie des suites d'entiers / Les suites de Queneau / Cordic : les suites cachées des calculettes / La résolution d'équations financières / Les suites de Farey / Des termes en cascade Dossier 2 : L'approximation et le calcul de limites Quand on évoque une suite ou une série, on parle de l'infini, parfois même sans le savoir! Infinité des décimales d'un nombre réel, infinité d'opérations imbriquées, infinité d'étapes avant d'atteindre une limite Les fonctions continues, l'algorithme de Babylone, les développements en série sont autant de moyens d'obtenir un résultat à l'aide d'une infinité d'opérations. Développements décimaux / Les calculs paradoxaux d'Euler sur les séries divergentes / Les fractions continues / Archimède, un génie intègre / Le calcul des racines carrées / Les séries géométriques en économie et en finance / Les suites, les séries et 𝝅 Dossier 3 : Les séries Que se passe-t-il lorsque l'on somme tous les termes d'une suite? Bien souvent, la série obtenue diverge : les sommes partielles ne semblent pas tendre vers un nombre. Parfois pourtant la somme a un sens. De la divergence de la série harmonique aux différents modes de convergence, les séries offrent une foisonnante diversité de comportements. La surprenante divergence lente de la série harmonique / Variations sur la série / Le calcul des sommes / La série harmonique alternée / La série géométrique / Différents modes de convergence / Séries géométriques et critères de convergence / Les polynômes qui ne s'arrêtent jamais / Les séries de Riemann / Dzêta de deux façon Euler / La constante d'Apéry / Naissance des séries trigonométriques / Une série étonnante : l'exponentielle Dossier 4 : Jeux et problèmes en série Les suites se prêtent au jeu, et Tangente vous propose d'en abuser sans modération. Ces problèmes peuvent être inspirés des défis que les mathématiciens se lançaient au Moyen Age, des tests modernes de QI ou des programmes scolaires. Suites de jeux, jeux de suites / Les suites au bac / Les suites logiques et leurs secrets Et toujours Problèmes - solutions - en bref - notes de lecture - le who's who des suites

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SOMMAIRE La forme de la terre histoire / L'IGN / Gauss et la cartographie / Distances / Mathématiques exotiques / Le GPS Dossier 1 : Géographie physique A l'heure où les modèles climatiques constituent un enjeu majeur, il n'est pas inutile de rappeler que les mathématiques jouent un rôle important dans l'explication de certains phénomènes naturels comme les marées, le vent ou encore les courants marins. La longueur des fleuves / Les marées, phénomène complexe et fascinant / La nouvelle géographie / L'énigme de Samos / Vents et courants marins Dossier 2 : Cartographie L'art de la cartographie mobilise des tEchniques et des connaissances scientifiques très variées. Le cartographe doit être capable de projeter la représentation de la surface du globe sur une surface plane tout en conservant certaines contraintes géométriques ( longueur, angles ou distances ). L'évolution des mesures / Géométriser la Terre / Le chemin du randonneur / Des projections à la carte / La France vue du train / Construction d'un globe terrestre / Les ondelettes, un outil sorti de terre Dossier 3 : Topographie L'homme parcourt le monde, conquiert, construit et s'interroge. Il veut mesurer et décrire le terre qu'il habite. Topographie, cartographie et géodésie sont liées à la géométrie et s'associent pour accéder au savoir. Les instruments évoluent, mais les questions restent les mêmes : apprécier une longueur, mesurer une surface, évaluer un relief... Voyage en Topographie / Ceci n'est pas une sphère / Mesurer le Terre, qu'elle idée! / Les instruments du topographe / Mesurer du linéaire par de l'angulaire / La triangulation / Représenter le relief / Comment s'orienter vers la Mecque? / Faire le point en mer Dossier 4 : Géographie humaine Les enjeux politiques, démographiques, économiques, sociaux ou sociétaux de la géographie humaine sont colossaux. On le mesure à l'aune du débat sur les retraites qui n'épargne aucun pays dans le monde. Parmi les chiffres incontournables qui sont utilisés dans tous les modèles figurent les données démographiques. L'espérance de vie / Les statistiques en France / Les femmes meurent deux fois moins que les hommes! / Le recensement / Autour de l'équation de Verhulst / De la dynamique des populations à la théorie du chaos / La loi de Zipf et la taille des agglomérations / Tout le monde ne s'appellera pas Martin! / Les aborigènes, une culture mathématique / La théorie des champs moyens Et toujours Problèmes - solutions - en bref - notes de lecture

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les fondements Mathématiques et musique sont deux langages universels aux origines communes et aux évolutions parallèles. Voyons comment, depuis l'Antiquité, la reine des sciences se propose de percer les secrets de l'harmonie. Musique et mathématiques : des destinées parallèles / Mathématiques et musique : une origine commune / L'harmonie des pythagoriciens / La moyenne harmonique ou comment accorder les fréquences / L'impossible quête de l'échelle parfaite / La musique des mathématiques orientales / De la gamme chromatique aux congruences / Accord perdu : les mathématiques de la guitare / Translations musicales / Les rondes de quintes / La géométrie de la scie musicale / Le tempérament égal à travers le monde Dossier 2 : La composition Les mathématiques ont largement nourri l'inspiration de compositeurs contemporains comme Pierre Boulez ou Yannis Xenakis. Mais ceux des siècles passés, tels Bach et Haydn, avaient déjà la fibre mathématique. Symétrie et composition / Composition automatique et ordinateur / Pierre Boulez, celui qui a institutionnalisé la musique / Des matrices pour influencer le hasard / Iannis Xenakis / Bach mathématicien ? / 3 minutes 14 de bonheur / Yaron Herman ou l(improvisation mathématique / Schoenberg, le maître de la musique moderne Dossier 3 : La technologie Sous la musique, les maths! Depuis le XIXème siècle et Fourier, on sait que le son se décompose en sinusoïdes. De là, la technologie numérique peut entrer en scène pour reconstituer la musique à partir de nombres. Les matheux sont-ils prédisposés pour la musique? / La décomposition de Fourier / Un filtre en canon / MP3 : le son compressé / Les métamorphoses d'une sinusoïde / Faire un son avec d'autres sons Dossier 4 : Lieux et figures Regard sur quelques lieux et figures emblématiques de la musique. Voyage à la Cité de la musique à Paris et à l'Opéra de Pékin. Voyage également avec des musiciens connus et moins connus. La Cité de la musique / L'Opéra de Pékin / Leonard Bernstein / Alain Connes, pianiste / Femmes et musique / Les arêtes du cube / Ernest Ansermet, mathématicien et musicien / tom Johnson / Michel Deneuve, cristaliste / Du club de maths au CD professionnel / Francis Reynès, le matheux chantant Et toujours < /b> En bref - jeux et énigmes - solutions des jeux et énigmes - problèmes - récréations mathémusicales - solutions des problèmes

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SOMMAIRE De l'abaque au boulier / Racines grecques, boulets / Le mauchecar de la combinoraticenne Dossier 1 : Dénombrements élémentaires Dénombrer c'est bien plus que compter! Si l'on sait réciter en une monotone litanie la suite des entiers 1,2,3,4... jusqu'à l'épuisement, on ne connaît pas toujours les subtilités que recèlent les combinaisons, les arrangements, les permutations et autres dérangements. De la théologie à la combinatoire moderne/ Dénombrements élémentaires / Dénombrer les mains au poker / Histoires de dérangements / Chemins faisant / Les nombres de Catalan (1) / La bijection pour dénombrer / Les permutations Dossier 2 : Secrets et méthodes Les outils mobilisés pour dénombrer sont parfois complexes : combien d'essais infructueux avant de trouver l'analogie ou la bijection lumineuse d'où va jaillir la solution! Quelques principes "magiques", simples et féconds, vont aider à manipuler les objets "discrets". Le principe des tiroirs / Induction, récurrence et récursivité / Les nombres de Catalan (2) / Le crible de Poincaré / Les fonctions génératrices / Le principe de l'extremum Dossier 3 : Graphes et optimisation Que ce soit pour visualiser les positions gagnantes d'un jeu et découvrir les stratégies qui y mènent, ou pour optimiser un processus sous contrainte, la théorie des graphes s'avère souvent salutaire. Le calcul booléen / Optimisation combinatoire / Le très discret groupe tétraédrique / La programmation en nombres entiers / La théorie des jeux / Mathématiques discrètes Dossier 4 : Jouer avec la combinatoire Par nature, les mathématiques discrètes sont facilement représentables : des grilles de sudoku aux problèmes de coloriage en passant par l'assemblage des pièces d'un puzzle, les interprétations visuelles et ludiques ne manquent pas pour décrire les propriétés du monde discret. Problème de coloriages / Théorème des quatre couleurs / Les parallélépipèdes parfaits / Le rangement de ma boîte de cubes / Décomposition d'un carré / Guitarpèges / Un théorème qui tombe à Pick / Le stomachion d'Archimède Dossier 5 : Problèmes de maths discrètes L'histoire de l'analyse combinatoire et des mathématiques discrètes n'est pas ancienne, en comparaison avec celle de la géométrie ou de l'arithmétique. il en résulte qu'un grand nombre de problèmes sont récents, et pas toujours encore résolus. La combinatoire hier et aujourd'hui / Combien existe-t-il de grilles de sudoku? Et toujours Preuves sans mots - jeux et problèmes - solutions

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Le cercle fascine les mathématiciens depuis des millénaires : décimales de π, constructions à la règle et au compas, puissance d'un point, chaînes de théorèmes... Ce numéro hors-série de la Bibliothèque Tangente fait le tour complet de cette figure mythique en trois grands dossiers thématiques, allant des propriétés fondamentales aux cercles remarquables des triangles, en passant par les relations profondes entre droites et cercles.

Rédigé avec la rigueur et l'accessibilité caractéristiques de la collection Tangente, cet ouvrage de 163 pages s'adresse aussi bien aux lycéens curieux qu'aux amateurs adultes souhaitant approfondir leur culture géométrique. Un incontournable pour tout passionné de géométrie classique.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Euler dans son époque Leonhard Euler est l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Sa renommée s'étendait dans toute l'Europe. Homme des Lumières, il correspondit avec la plupart des scientifiques de son époque et sa façon de poser et de résoudre les problèmes marqua le style de son temps. Leonhard Euler (1707-1783) / Euler et la musique / Euler physicien / Euler, " blogueur " infatigable / Les lettres à une princesse d'Allemagne / Un nouveau style / Sur les pas d'Euler à Saint-Pétersbourg / Le mathématicien dévot et le libre penseur Dossier 2 : Le mathématicien éclectique Euler a posé et résolu une multitude de problèmes, et c'était aussi un grand découvreur de mathématiques. Ses travaux touchent l'analyse, l'arithmétique, la combinatoire, l'algèbre, la géométrie… Doté d'une grande intuition, il ne s'embarrassait pas toujours de vérifications rigoureuses : un calcul donnant des résultats conformes à l'expérience était considéré comme légitime! Leonhard Euler, père de la combinatoire contemporaine / Un cercle de mathématiciens / La formule d'Euler / Géométrie du triangle : un joyau eulérien / Euler et la règle des signes / Équation normale d'une droite / Développements eulériens / Les angles d'Euler / La constante d'Euler / La méthode d'Euler / Les nombres de Mersenne / Les briques d'Euler / Le problème des quatre carrés / L'indicatrice d'Euler et ma cryptographie / La notion de fonction chez Euler Dossier 3 : Le précurseur Le génie d'Euler a notamment consisté à prolonger des concepts mathématiques existants ( il étendit par exemple l'exponentielle aux nombres complexes ) ou à proposer de nouvelles méthodes de calcul ou de résolution de problèmes connus. Ses travaux furent parfois l'amorce de théories développées bien après lui. La formule magique des polyèdres / Comment Euler calculait / Probabilité arithmétique et / L'extension de l'exponentielle / Les équations différentielles linéaires / Euler et la fonction gamma / Le calcul des variations / Euler et les séries de Goldbach / La formule d'Euler-Maclaurin / Les nombres chez Euler / Fermat par Euler : intuition ou chance? / Les erreurs d'Euler Dossier 4 : Les jeux et les problèmes de Leonhard Euler Dans l'élaboration de son œuvre titanesque, le grand Euler n'a jamais négligé l'aspect ludique des mathématiques. Jeux, énigmes, problèmes amusants sont à l'origine de certaines de ses théories. Découvrons les problèmes ludiques les plus célèbres d'Euler : celui des ponts de Königsberg, qui inaugure la théorie des graphes, celui de la marche du cavalier sur l'échiquier, celui des rencontres, lié à la combinatoire, ou encore celui des 36 officiers… La fibre ludique du grand Euler / Hasards, rencontres ou coïncidences / Le parcours du cavalier sur l'échiquier Et toujours En bref - bibliographie - jeux et problèmes - solutions

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Mathématiques et littérature… deux mondes que l’on voudrait opposer et qui pourtant s’observent, dialoguent, s’inspirent mutuellement. D’Edgar Poe à Umberto Eco, de Lautréamont à Wislawa Szymborska, écrivains et poètes disent leur fascination pour les mathématiques, en émaillent leurs œuvres, chantent leur beauté dans leurs vers. Avec Blaise Pascal, Lewis Carroll, Sofia Kovalewskaïa, Claude Berge, Douglas Hofstadter… on découvre que l’on peut être à la fois bon mathématicien et belle plume. Et si l’arithmétique et la symétrie sculptent depuis toujours la poésie, oulipiens et autres tenants de l’écriture à contraintes ont plus récemment apporté la preuve que les mathématiques offrent de formidables outils de création littéraire.

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SOMMAIRE Dossier 1 : Passeport pour le triangle C'est le plus simple des polygones. À toutes époques, on l'a observé, découvrant à chaque fois de nouvelles propriétés. Depuis quelques années, cependant, le triangle semble passé de mode. Et si nous le faisions revivre? Pourquoi trois points’ / La somme des angles d'un triangle / Le théorème de Pythagore / Mesurer dans un triangle / La leçon de Mémé Laïus / Le triangle " à l'ancienne " / Géométrie de l'équerre / Alignement et concourt / Une vision géométrique des triplets de Pythagore Dossier 2 : Points, droites et cercles remarquables Le triangle, plus que toute autre figure géométrique, a hanté l'imaginaire de tous les mathématiciens. Pas en vain. Ils y ont trouvé des points si remarquables, des droites si singulières, des cercles si extraordinaires qu'ils leur ont laissé leur nom. Une mine de points remarquables / Le fameux cercle des neuf points / Pas anonymes, les points / La droite de Simson / Le " théorème japonais " de Lazare Carnot / Ellipses inscrites dans un triangle / Inscrire un carré / La merveille de Frank Morley Dossier 3 : La plastique du triangle Malgré sa simplicité, la forme triangulaire recèle une multitude d'avantages pratiques : disposition des nombres entiers, calcul de distances, représentation des surfaces en 3D… L'art du triangle / Mesurer du linéaire par de l'angulaire / Arithmétique en triangles / Des triangles qui tournent rond / Les triangles cachés de la 3D Dossier 4 : Jeux et problèmes autour du triangle Le triangle est une des pierres fondatrices des mathématiques classiques, mais, comme tout objet sérieux, il peut être détourné au nom du plaisir du jeu. Ces quelques problèmes, énigmes et autres puzzles convaincront les plus incrédules. Des triangles pour aller plus vite / Diagrammes triangulaires / Le rubis du mécène / La ronde des triangles / Un problème qui revient de loin / Du côté du triangle équilatéral / Triangles à foison : les puzzles polymorphes / Le trioker / En direct du Japon / Jouons avec les allumettes! / Un problème sur l'oreiller de Lewis Carroll Et toujours En bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Intro : Les étapes d'un millénaire Après les flux et reflux des périodes antiques, le deuxième millénaire de notre ère se caractérise par un progrès continu des champs de la connaissance et des mathématiques en particulier. Une étude détaillée laisse cependant voir de grandes époques et une respiration de l'histoire. Numérologie, la tentation ésotérique Dossier 1 : Histoire des idées : l'époque classique Pour décrire les phénomènes naturels, Newton invente le calcul infinitésimal. Jugée non rigoureuse, la notion d'infiniment petit est évacuée par Cauchy et ne sera réintroduite que très récemment dans l'analyse non standard. Galois, de son côté, apporte une contribution majeure aux mathématiques de son temps et de ceux qui suivront. Newton… et la physique devint mathématique / Les infiniment petits : actuels ou potentiels? / Évariste Galois : génie méconnu? / Petite histoire des récréations mathématiques / L'invention des nombres réels Dossier 2 : Les nouvelles tendances D'un XVIIIème siècle où Voltaire surnommait Dieu " le grand horloger ". De même, les courbes très régulières des mathématiciens échouent à modéliser certains phénomènes naturels : il faut inventer la géométrie fractale. Enfin les ordinateurs engendrent d'autres domaines d'études comme celui des automates. Sept défis pour un millénaire / La logique moderne de Boole à Gödel / Le chaos : grandeur et misère du linéaire / Géométrie fractale / Les automates : maths avant tout Dossier 3 : Évolution des techniques Pratique, rapide, efficace : notre système actuel de numération est le fait d'une lente maturation depuis les Arabes jusqu'au Moyen-âge. Cette étape était nécessaire avant de commencer à calculer avec des lettres, à faire de l'algèbre. En inventant les repères qui portent son nom, Descartes a ensuite ramené la géométrie à l'algèbre. Toujours soucieux d'éviter ou de simplifier les calculs, les mathématiciens inventèrent les logarithmes, ou plus tard les logiciels de calcul symbolique. Symbolisme et mathématiques arabes / Moyen-âge : la numération décimale s'impose / Viète : la naissance du calcul littéral / Le repère de Descartes / Des logarihmes au logarithme / Calcul symbolique : avenir des mathématiques ? / Les tables de moralité aux XVIIème et XVIIIème siècles Dossier 4 : Les grands problèmes Pourquoi les Grecs ont-ils privilégiés la règle et le compas pour la construction des courbes ? quelle qu'en soit la raison véritable, ce choix a marqué les mathématiques jusqu'à nos jours. Autre héritage des Grecs, l'arithmétique ne verra son véritable avènement qu'avec Pierre de Fermat, célèbre grâce aux problèmes qu'il a résolus, mais aussi à celui qui n'a pu être démontré que récemment et qui porte son nom. Construction à la règle et au compas / Résolution des équations algébriques / Les probabilités : une paternité multiple / Fermat ou l'avènement de l'arithmétique / Les nombres premiers / Le fabuleux nombre 𝝅 / D'impossibles problèmes / Le cercle enfin carré Et toujours En bref - problèmes - solutions

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SOMMAIRE Dossier 1 : L'Univers et son histoire L'astronomie sera toujours, selon la phrase d'Évry Schatzman, " la plus ancienne et la plus neuve de toutes les sciences ". liée à Dieu, à la philosophie, aux mathématiques, aux autres sciences, elle est à la fois mère et sœur de tous les savoirs et de toutes les cultures. Mieux : ne serait-il pas la "science première " ? Le système solaire / Vingt-cinq siècles d'astronomie / Tycho Brahé / Sciences et magie… étrange alchimie! / Cherchez le centre / Une main de fer dans un gant d'acier! Urbain Le Verrier / Les compteuses d'étoiles Dossier 2 : Le mouvement Les Anciens pensaient que tous les astres décrivaient des cercles autour d'une Terre immobile. Puis vinrent Copernic, Galilée, Kepler, Newton, Einstein… nous invitant à sans cesse repenser la manière dont se meuvent les objets de l'Univers les uns par rapport aux autres. Au cœur du mouvement, on découvrit des courbes merveilleuses : les coniques. Jamais las d'observer le ballet des objets célestes, on apprit aussi à le prévoir. Des courbes célestes : les coniques / La loi des aires démontrée par Newton / Le principe de relativité / Les récurrences de Vénus / La mécanique des éclipses / Problème : le passage de Vénus Dossier 3 : Mesurer le lointain A quelle distance de nous se trouvent les étoiles et les planètes’ Comment mesurer ce qui est à peine visible à l'œil nu’ Au secours de l'astronomie, il y a d'abord la géométrie, qui offre d'ingénieuses méthodes de calcul. Enfin, les progrès de la science des astres sont indiscutablement liés à l'évolution des instruments de mesure. Lunette ou télescope? / De Descartes aux télescope géants / La mesure des distances / La statistiques des étoiles / Le cycle stellaire Dossier 4 : L'Astronomie aujourd'hui Si l'astronomie est la ^plus ancienne des sciences, c'est aussi celle qui a progressé le plus au cours des vingt dernières années, davantage qu'en toute autre époque. Par ses conditions extrêmes, l'Univers est un laboratoire idéal pour le physicien, le chimiste… et offre un potentiel de découverte considérable. Expérimenter la relativité / Les mathématiques cosmiques / Les planètes extrasolaires / Il manque de la matière dans l'univers Et toujours En bref - notes de lecture - problèmes

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SOMMAIRE Dossier 1 : Les grands problèmes historiques Aussi loin que l'on remonte dans l'histoire, on trouve des signes qui prouvent que de tous temps, l'homme a joué. Il existe aussi bien des jeux modélisant le monde réel que des jeux purement abstraits, dont l'habillage n'est qu'un prétexte destiné à stimuler l'imagination. Trente siècles de jeux mathématiques / Futiles mais fascinants : les carrés magiques / Bachet de Méziriac / Les problèmes de l'échiquier / Ernest Dudeney & Sam Lyod / Problèmes classiques / Martin Gardner / Jouer avec le feu Dossier 2 : Énigmes et logique Les problèmes de logique font partie des grands classiques des jeux mathématiques. Quelles sont les questions à poser qui permettront de démêler la vérité du mensonge? Comment interpréter les réponses et traquer les contradictions entraînant des impossibilités. Comment résoudre les énigmes logiques / Raymond Smullyan / Au-delà des jeux/ les paradoxes / Ceci n'est pas un titre / Problèmes d'autoréférence / Énigmes & puzzles logiques / Douglas Hofstatder Dossier 3 : Jeux de chiffres et de lettres Il existe des amateurs de jeux mathématiques et d'autres qui se cantonnent aux jeux de lettres. Les rédacteurs de Tangente ont toujours pensé que des ressorts et des mécanismes de pensée identiques existent derrière ces deux grandes catégories de jeux de l'esprit. Jeux de chiffres, jeux de lettres, jeux de mots / Lewis Carroll / Les cryptarithmes / Énigmes chiffrées / Codes, chiffres, messages secrets Dossier 4 : Les jeux dans la théorie des jeux La théorie des jeux a l'ambition de modéliser toutes les situations où une décision est à prendre. Elle couvre un vaste champ mathématique qui inclut aussi bien les probabilités que la théorie des graphes, ou la recherche opérationnelle. Elle est donc loin de se limiter au jeu! Pire, le jeu n'est qu'une petite partie de son champ d'application. Hasard et décision / Les jeux de réflexion pure à information complète / Trois taquins / Quelques stratégies gagnantes pour les jeux de Nim / Le choix d'une stratégie / John Conway / Problèmes de jeux de Nim Dossier 5 : Surprises arithmétiques Si les problèmes liés à la numération et aux propriétés arithmétiques s'énoncent sous une forme accessible au grand public, leur résolution fait souvent appel à des mathématiques très spécialisées. Mais heureusement, même les plus simples constituent une mine inépuisable de jeux mathématiques capables de captiver l'amateur . Méthodes numériques pour jeux mathématiques / Devine mon nombre / Léonard de Pise dit Fibonacci / Fantaisies numériques / Algorithmes numériques / Stratégie pour retrouver la boule / Dattatreya Kaprekar / Problèmes numériques / Édouard Lucas Dossier 6 : Puzzles géométriques Si la géométrie d'Euclide peut inspirer des défis mathématiques, sa présentation austère n'incline guère au divertissement, sauf pour les amateurs éclairés. Il faut attendre Euler et sa " géométrie de situation ", qui pose les bases de la topologie et de la théorie des graphes, pour se divertir avec des points et des lignes. La géométrie de position / Des points et des lignes / Figures coupables / Jouer avec des allumettes / Les polyminos / Leonhart Euler / Au rythme des cryptarithmes