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SOMMAIRE Dossier 1 : Euler dans son époque Leonhard Euler est l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Sa renommée s'étendait dans toute l'Europe. Homme des Lumières, il correspondit avec la plupart des scientifiques de son époque et marqua le style de son temps. Leonhard Euler -1707-1783) / Euler, " blogueur " infatigable / Lettres à une princesse d'Allemagne / Un nouveau style / Le mathématicien dévot et le libre penseur Dossier 2 : Le mathématicien éclectique Euler a posé ou résolu une multitude de problèmes. Il fut aussi un grand découvreur de mathématiques. Ses travaux touchent l'analyse, l'arithmétique, la géométrie...Doté d'une grande intuition : avec lui, un calcul donnant des résultats conformes à l'expérience devenait légitime! Un cercle de mathématiciens / La constante d'Euler / Les nombres de Mersenne / L'indicatrice d'Euler et la cryptographie Dossier 3 : Le précurseur Le génie d'Euler fut aussi de prolonger des concepts mathématiques existants ou de proposer de nouvelles méthodes de résolution de problèmes. Ainsi, il étendit l'exponentielle aux nombres complexes. Ses travaux furent parfois l'amorce de théories développées bien après lui. Par exemple, sa formule relative aux polyèdres annonce la topologie. La formule magique des polyèdres / Comment Euler calculait ζ (2) / L'extension de l'exponentielle / Les erreurs d'Euler Et toujours La fibre ludique du grand Euler- la marche du cavalier sur l'échiquier - en bref - problèmes - solutions

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Littérature et mathématiques : des amours anciennes / Scientifique? Littérature? Pourquoi pas les deux?/ L'outil qui démasque l'usurpation littéraire / Raymond Devos : la logique du rire / Guillevic, le poète des figures géométriques / ô, mathématiques sévères... Dossier 1 : Poètes, écrivains et mathématiciens Une idée largement partagée voudrait que l'on sépare esprits littéraires et esprits scientifiques. Pourtant, la naissance des mathématiques fur le fait de philosophes écrivains, de Thalès à Pythagore. Les mathématiciens sont par essence des créateurs et se doivent d'être des manipulateurs habiles du langage. Par voie de conséquence, il est normal de trouver parmi eux nombre d'écrivains. Blaise Pascal, génie éclectique / Madame du Châtelet / Les deux amours de Sophie K. / Borges, la bibliothèque de Babel / Calvino périmathématicien / François Le Lionnais (1901/1984) / Les suites de Queneau Dossier 2 : Outils mathématiques et contraintes littéraires Peut-on appliquer la combinatoire, la théorie des graphes, les additions ou soustractions, la logique, la symétrie... à des mots, des phrases, des textes en proses ou en vers’ L'OuLiPo, entre autres, a montré que loin d'affaiblir la créativité, l'introduction en littérature de quelques contraintes mathématiques constituait un ferment et un aiguillon propre à l'élaboration de textes les plus variés. Labyrinthes pour écrivains / La poésie sculptée par les mathématiques / Arithmétiques humaine / Un roman à contraintes mathématiques : La Vie mode d'emploi / Symétrie en tous sens : le palindrome / Trente et un au cube o le nombre de l'amour Et toujours En bref - problèmes - solutions

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Dossier 1 : Les précurseurs Ils n'étaient pas du tout à fait de notre temps, mais déjà plus du leur puisque leurs travaux mathématiques leur ont largement survécu. Incompris ou salués par leurs actuelles et ouvert la voie aux générations présentes et futures. Abel et Galois, frères d'infortune / Riemann, l'homme de l'hypothèse / David Hilbert / Cantor et Méray : les fondations en folie ? Dossier 2 : Les atypiques Si tous les grands mathématiciens sont, par définition, exceptionnels, certains fascinent plus particulièrement, soit à cause d'un destin hors du commun, soit de par leur originalité, leur personnalité remarquable. Ramanujan à Hardy : de la première à la dernière lettre / Emmy Noether / Bertrand Russel, le maître du paradoxe / Claude Chevalley, mathématicien et philosophe / Paul Erdös, poseur de problèmes Dossier 3 : Les influents L'influence de certains mathématiciens dépasse largement leur discipline. Celle de Shannon en transmission numérique ou de Kolmogorov, tant en mécanique des fluides qu'en finance, sont indiscutables. Les catastrophes de René Thom touchaient aussi bien à la biologie qu'à la linguistique. Quant à Gödel, s'il était un mathématicien pur, les notions de calculabilité et de décidabilité, centrales dans ses travaux, sont aussi au cœur de l'informatique. René Thom / Claude Shannon et la théorie de l'information / Kurt Gödel, un autrichien ( pas si ) complet / Andreï Nikolaevitch Kolmogorov Et toujours en bref - problèmes - solutions

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Dossier 1 : Passeport pour le triangle C'est le plus simple des polygones. À toutes les époques, les mathématiques l'ont observé, trituré, découvrant à chaque fois de nouvelles propriétés. Depuis quelques années, cependant, le triangle semble passé de mode. Et si, ensemble, nous le faisions revivre? Pourquoi trois points’ / La somme des angles d'un triangle / Mesurer dans un triangle / Le triangle " à l'ancienne" / Le théorème Pythagore Dossier 2 : Points, droites et cercles remarquables Le triangle, plus que tout autre figure géométrique, a hanté l'imaginaire de tous les mathématiciens, mais pas en vain. Ils y ont trouvé des points si remarquables, des droites si singulières, des cercles si extraordinaires qu'ils leur ont laissé leur nom. Une mine de points remarquables / Le fameux cercle des neuf points / La merveille de Frank Morley / Le théorème de Napoléon / Le " théorème japonais " de Lazare Carnot Dossier 3 : La plastique du triangle Les objets les plus simples pour représenter une surface sont les triangles. Ils s'adaptent à toutes les situations, toutes les plastiques, de Lara Croft à la Terre. Jouant avec l'imaginaire et les lois de l'optique, le triangle permet aussi de créer des objets impossibles. Les triangles cachés de la 3D / L'ombre d'un triangle Dossier 4 : Jeux et problèmes autour du triangle Le triangle est l'une des pierres fondatrices des mathématiques classiques, mais comme tout objet sérieux, il peut être détourné pour faire jouer ses neurones ou s'adonner au plaisir de recherche. Voici quelques pages qui convaincront les lecteurs les plus crédules. Diagrammes triangulaires / Du côté du triangle équilatéral / Le rubis du mécène / Problèmes de triangles Et toujours en bref - problèmes - solutions

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Dossier 1 : Résolution exacte Des manipulations algébriques comme celle d'Al Khwarizmi ou de Cardan permettent de résoudre toutes les équations de degré au plus quatre à l'aide radicaux. Galois, qui à 18 ans dédiait déjà un article aux fractions continues, montra l'impossibilité de la faire à partir du degré 5. Au temps du certificat d'études / Les manipulations algébriques / L'hyperbole du crime / Le premier article de Galois / Évariste Galois Dossier 2 : Résolution géométrique ou graphique La découverte du premier irrationnel remit en cause la représentation des grandeurs : d'une recherche de solutions rationnelles exactes, les anciens Grecs passèrent à celle de solutions constructibles à la règle et au compas ou de solutions rationnelles approchées. Le premier irrationnel / Jean le Rond d'Alembert / A la règle et au compas / Les abaques / Al Khwarizmi / L'étoile en or Dossier 3 : Résolution numérique approchée Les découvertes d'Abel et de Galois ont ouvert la voie aux méthodes numériques approchées. Ainsi apprit-on à localiser des racines de manière graphique, et à en obtenir des approximations très fines grâce à des méthodes itératives qui expriment leur pleine puissance grâce aux ordinateurs. Les méthodes itératives / Où sont les racines’ / Des racines au goutte à goutte / Quel est le taux effectif d'un emprunt’ Et toujours À la recherche des inconnues - le crime en équations - l'équation du beau - en bref - problèmes - solutions

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Dossier 1 : Organiser et classer Organiser une compétition, départager des compétiteurs soulèvent certaines difficultés mathématiques. Par exemple, si, dans une comparaison deux à deux, un joueur obtient un meilleur rang que chacun des autres aux yeux d'une majorité absolue de juges, il devrait obtenir le premier rang dans le classement final. Mais il est à noter que le gagnant en question n'est pas nécessairement le gagnant dans une élection à la pluralité des voix. Les classements des joueurs de tennis / Comment constituer une équipe / Casse-tête sur la glace Dossier 2 : Techniques sportives 1968. Jeux Olympiques de Mexico. Finale du saut en hauteur. Un gringalet déclenche l'hilarité du public. Après sa course d'élan, il pirouette et engage son saut, dos à la barre. Oublié le rouleau ventral, une révolution technique voit le jour : pour la première fois, un sauteur franchit l'obstacle alors que son centre de gravité reste sous la barre. Les rieurs se taisent. Dick Fosbury vient de remporter la médaille d'or. Des courbes olympiques : les paraboles’ / Les balles à effets / Le penalty et le poteau / Les seigneurs des anneaux / Des perches tendues vers l'Olympe Dossier 3 : Mesurer et prévoir La suite des records des épreuves de course est décroissante et minorée par O; donc, selon un théorème bien connu, elle converge vers une limite L. Pour des raisons morphologiques, cette limite ne peut être zéro. À moins sue les humains mutent, ils ne pourront jamais dépasser certaines capacités. De plus, comme on compte en centième de secondes, le nombre de records possibles est fini, donc la limite sera un jour atteinte. La limite des records / La mesure du temps / Les services de Justine / Nombre de buts et loi de Poisson Et toujours En bref - notes de lecture - énigmes sportives - solutions des problèmes - la course n'aura pas lieu

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Dossier 1 : Un fractal, une fractale Il n'est pas facile de définir une fractale ( ou un fractal). Benoît Mandelbrot, qui a forgé ce mot ( au masculin) et crée cette nouvelle géométrie, a toujours été réticent à formuler une définition précise. Une idée qui a fait son chemin / Jeux fractals / L'histoire (inachevée) de la définition des fractales / Pliage fractal / Les arbres de Pythagore / La dimension fractale / Fractales sur la toile Dossier 2 : Fractales et nature La géométrie fractale est un outil efficace pour étudier les objets de la nature qui présentent une structure complexe et hiérarchisée. De la côte de Bretagne au chou Romanesco, en passant par l'arborescence bronchique, nombreux sont les exemples où s'applique la notion fractale d'invariance d'échelle. Fractalité du vivant / Une géométrie aussi belle qu'utile : les fractales / La longueur des côtes / Conus fractalus / Des choux mathématiciens Dossier 3 : Art fractal Il existe un art fractal. Des artistes contemporains exploitent et transcrivent les images, nées de l'ordinateur et, comme pour tout nouveau mouvement pictural, les précurseurs ne manquent pas. Galerie d'art / Un art né dans la géométrie / Les dentelles de Sierpinsky / Katsushika Hokusai / Les dessins Kolam / Le visage de la guerre de Dali / Les scintillements de Richard Voss Et toujours En bref - notes de lecture - solutions des problèmes

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Dossier 1 : La science de l'eléa Depuis l'époque de la " géométrie du hasard ", les mathématiques ont développé des outils pour fonder cette impensable discipline : une théorie rationnelle, cohérente, qui rend compte de ce qui est par nature toujours fuyant et semble inaccessible à la raison. Mathématiser le hasard / De la moyenne à l'espérance / La loi de Bernoulli / Causes, conséquences et probabilités / La loi binomiale / En passant par hasard / Un paramètre de dispersion : la variance / Une théorie de poids Dossier 2 : Utiliser le hasard Le hasard fait bien les choses. Ce vieux dicton ne croyait sans doute pas si bien dire: loin de n'être qu'une manifestation de notre impuissance à comprendre les phénomènes, le hasard est aujourd'hui un outil fondamental de la science d'aujourd'hui. Trouver le tout dans la partie : les sondages / Des footballeurs dans le chocolat / La loi hypergéométrique / Subtilités sondagières Dossier 3 : Quand l'infini s'en mêle Que le monde serait simple, s'il suffisait de compter des cas favorables et des cas possibles pour faire des probabilités! Malheureusement (ou heureusement, c'est selon), même des situations très concrètes nécessitent le recours à des raisonnements où une infinité de possibilités doivent être prises en considération. Du fini à l'infini / La loi géométrique / Le mouvement brownien / La loi uniforme / Comment obtenir π par hasard / Des filles à l'infini? Et toujours Une devinette probabiliste - jeux et énigmes - solutions - citations improbables

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Dossier 1 : La logique élémentaire Comment garantir qu'une argumentation est correcte, qu'aucun cercle vicieux ne s'immisce dans des propos qui se veulent justes’ La logique est née avec Aristote et, à lire ou entendre tous les raisonnements fallacieux présentés avec tout le sérieux du monde par certains, on comprend que la logique, même " élémentaire", est un indispensable bagage pour tous les citoyens. La logique d'Aristote / Lewis Carroll / Les règles de la déduction / Le tiers exclu / La théorie des ensembles / Le moteur logique : l'implication/ Le paradoxe de Hempel Dossier 2 : Le projet de Hilbert A partir du XIXème siècle, les mathématiciens se penchent sur les fondements de leur discipline et s'attachent à s'assurer de leur solidité. Au début du XXème siècle, tout s'écroule. De nouvelles découvertes viennent bouleverser des siècles de certitudes. Deux camps s'opposent alors : les "intuitionnistes" ou "constructivistes", et les "formalistes" dont le chef de file est David Hilbert. Le projet de Hilbert / Le paradoxe du menteur / La chute de la maison Hilbert / Le vrai, le faux et l'incertain / Raymond Smullyan / Les machines de Turing Dossier 3 : Jeux logiques Il existe deux grands types de jeux logiques. Les jeux où des Menteurs et des Sincères, des Fous et des Sages, des Chevaliers, des Barbiers et des Princesses s'affrontent en des joutes exploitant toutes les finesses de la logique élémentaire et les jeux où l'autoréférence est au cœur de l'énigme. Et toujours Les énigmes d'Oedipeland - en toute logique - test autoréférentiel - solutions

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Dossier 1 : Du fini à l’infini et réciproquement Comment définir l’infini? Comment énoncer une infinité de vérités’ Comment donner un sens à une somme infinie de nombres’ Les réponses à ces questions exigent de contester l’axiome intuitif qui postule que le tout est plus grand que la partie. Le cauchemar du bibliothécaire / Différents et pourtant égaux / L’univers est-il fini? / Un outil pour scruter l’infini / L’induction mathématique / Quand la récurrence imagine / La descente infinie / Les sommes infinies de Leonhart Euler Dossier 2 : Les paradoxes de l’infini Les paradoxes sont la voie royale pour accéder aux vérités les plus profondes. À commencer par celle qui affirme qu’il existe une infinité d’infinis différents. Hôtel Hilbert / Le paradoxe de la biographie / Le paradoxe de Jules Richard Dossier 3 : Discret et continu Le discret et le continu sont les deux notions les plus fondamentales qui structurent les mathématiques ; la première est formalisée par les entiers naturels, la seconde par les nombres réels. Avec trois fois rien / Des rationnels pour atteindre les réels / Étiqueter les rationnels / Le labyrinthe du continu / La diagonale de Cantor

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Dossier 1 : Les fondements Les Grecs anciens pensaient déjà que la musique et les mathématiques avaient une origine commune. L'évolution de ces deux disciplines, aussi, s'est faite de manière parallèle. Musique et mathématiques : deux destinées parallèles / Une origine commune / L'harmonie des Pythagoriciens / La moyenne harmonique / L'impossible quête de l'échelle parfaite / Femmes et musique / Le tempérament égal à travers le monde Dossier 2 : Composition, ordinateur et technologie Les plus grands compositeurs classiques ont utilisé, sciemment ou non, les mathématiques dans l'art de la composition. Le vingtième siècle a ouvert de nouveaux champs avec l'ordinateur, base d'un renouvellement foisonnant de l'art musical. Symétrie et composition / Composition automatique et ordinateur / Lipogrammes musicaux / Pierre Boulez / La cité de la musique / Iannis Xenakis / La décomposition de Fourier / La compression MP3 Et toujours En bref - jeux et énigmes - solutions