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SOMMAIRE L'art de la modélisation mathématique Pour être passible de calculs, le réel a besoin d'être modélisé. Le danger est alors d'oublier la différence entre la réalité et son modèle. Arbres de Steiner sur échiquier Le premier article de Martin Gardner dans une revue mathématique avec comité de lecture porte sur les arbres de Steiner. Nous en proposons ici une adaptation raccourcie, dans l'esprit de Tangente Sup. La similitude : une notion intrinsèque Deux matrices réelles semblables sur le corps? Des complexes le sont aussi sur le corps? Des réels. Ce résultat a des conséquences théoriques importantes. Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle Avis de recherche Solutions Belles preuves Erreurs et paradoxes Note de lecture

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Henri Poincaré nous a quittés il y a cent ans. Un siècle après sa mort, nous continuons à découvrir des applications extraordinaires de ses travaux en mathématiques et en physique théorique. Ses ouvrages de philosophie continuent d'influencer les thèses épistémologiques actuelles. Il fut le dernier savant universel de son temps : en plus d'être un mathématicien de tout premier plan, dont les découvertes sont loin d'avoir été toutes exploitées, Henri Poincaré a contribué de manière décisive à toutes les branches de la science du début du XXe siècle. Travailleur infatigable, il fut en outre un ingénieur, un philosophe, un brillant pédagogue, et un citoyen engagé. Enfin, signe qui ne trompe pas : ses erreurs scientifiques furent fécondes et sources de nombreuses nouvelles découvertes. C'est l'apanage des plus grands. Sommaire Henri Poincaré Poincaré, l'autre prince des mathématiques Les concours de Poincaré La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré Poincaré et l'Affaire Dreyfus Le problème des trois corps La théorie du chaos Promenons-nous dans le disque de Poincaré Les travaux de Poincaré en topologie algébrique La conjecture de Poincaré Le groupe fondamental Le premier article américain de Poincaré Henri Poincaré et la bibliographique mathématique Poincaré, grand-père des mathématiques financières ? Et aussi Nouvelle « Les lapins du chaos » Notes de lectures Mathématiques récréatives Coctail EXO-TIC Solutions Erreurs et paradoxes Ah, les belles preuves !

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SOMMAIRE Les cent ans du père des filtres Les mathématiciens français sont parmi les meilleures du monde. L'un des principaux responsables de cette exception culturelle est le père des filtres. Il a fêté ses cent ans le 8 juillet 2004. Dossier : Le zéro et le vide Gloire à vous tous, nobles zéros! Un zéro, ce peut être beaucoup de choses. De l'histoire des nombres au calcul infinitésimal, en passant par les racines des polygones, faisons un petit tour mathématique autour de cette notion tellement ... multiple! Les infinitésimaux en analyse non standard Jusque vers le milieu du XXème siècle, l'infini a été considéré comme potentiel : on peut tendre vers l'infini mais jamais l'atteindre. Depuis Abraham Robinson, il est possible de travailler et calculer sur des infinis actuels avec rigueur. Les physiciens face au vide Le cheminement intellectuel qui a permis aux hommes de décrire la matière comme un ensemble d'atomes, de modéliser ces derniers pour les appréhender par la pensée, a été parsemé d'erreurs, de remises en causes et de bouleversement successifs. L'algèbre à corriger les erreurs En informatique, il est indispensable de pouvoir détecter et corriger les erreurs, qui de glissent dans les suites de 0 et 1. Pour cela, l'algèbre vient à notre secours, sous la forme de matrices génératrices de code, ou de matrices de contrôle. Les chaînettes de surface La chaînette classique correspond à un fil pesant abandonné dans l'espace. Que ce passe - t-il lorsqu'on pose ce fil sur un cylindre vertical, une sphère, un cône, etc. ? Pour le savoir, une étude mécanique est nécessaire. Et aussi Actualités de la recherche, Erreurs et paradoxes, Belles preuves, Mathématiques récréatives, En bref Exercices, Avis de recherche, Agenda et Pistes de solutions

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SOMMAIRE Extensions de l'exponentielle En utilisant son développement en série entière, on peut étendre la fonction exponentielle non seulement aux nombres complexes mais également aux matrices carrées. Des équations pour décrire la lumière Depuis le XXème siècle et l'optique quantique, la lumière n'est plus vue seulement comme une onde mais comme possédant aussi les propriétés d'une particule quantique. De nombreuses applications, comme les lasers par exemple, découlent de cet aspect. Dossier : Les surfaces Surfaces algébriques, rétrospective et perspectives Depuis le début du XVIIIème siècle, on étudie les surfaces algébriques d'une multitude de façons: en cherchant à déterminer leur équation, en s'intéressant aux courbes qui les engendrent, en observant leurs propriétés de symétrie, leurs caractéristiques topologiques ou les contraintes géométriques auxquelles elles répondent. Et aussi En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Mathématiques récréatives Avis de recherche Pistes de solutions

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SOMMAIRE Dossier : Les mathématiciens précoces Gauss et le "théorème d'or" Le génie précoce Carl Friedrich Gauss fit la démonstration complète de l'hypothèse d'Euler, ou "théorème d'or", à 19 ans, à partir d'observations enfantines sur les nombres. Les nombres figurés et l'extraction de racine Le calcul d'une racine carrée peut être effectué de bien des façons. En voici une qui, à défaut d'être performante, lie nombres figurés et algorithme. Cette méthode est particulièrement adaptée au calcul par ordinateur. Le simplexe : une approche géométrique de la programmation linéaire La géométrie des polyèdres permet de résoudre les problèmes d'optimisation des fonctions linéaires pour des variables soumise à des contraintes linéaires. Il s'agit de la méthode du simplexe. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes En bref Note de lecture Avis de recherche Pistes de solutions

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SOMMAIRE La Géométrie : talon d'Achille des supercalculateurs Pour représenter des images 3D (éventuellement animées), les supercalculateurs utilisent des méthodes géométriques, qui consistent à représenter les volumes par des polygones. Ils peuvent aussi choisir une méthode algébrique, plus économe en mémoire et en temps d'affichage, qui consiste à représenter les volumes par des équations polynomiales. Valérie Pécresse : " Nous ne toucherons pas aux classes prépas! " Il ne se passe pas de décennie sans que se fasse jour un projet de mettre à mal le système français des grandes écoles et des classes préparatoires. Tangente Sup a interrogé la Ministre de l'enseignement supérieur et de la recherche. Sa réponse, rassurante, vous est livrée in extenso. Dossier : L'école mathématique polonaise Mathématiques récréatives : le billard cubique de Steinhaus Les mathématiques actuelles en Pologne Durant la période 1919-1939, l'école mathématique polonaise s'est façonné un style. Depuis cette époque, l'éventail des intérêts scientifiques de plus de 2000 chercheurs en mathématiques, qu'ils travaillent en Pologne ou à l'étranger, s'est considérablement élargi. Les espaces polonais L'école mathématique polonaise de l'entre deux guerres a été particulièrement prolifique. Elle nous a laissé, entre autres, les espaces de Banach et les espaces polonais. Et aussi Belles preuves Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Nombre de partitions d'un nombre entier De combien de manières peut-on partager un entier? Le problème peut sembler simple. Pourtant, il comporte encore bien des questions ouvertes. Désignation des élus au sein d'un parti Dans nos régimes démocratiques, le suffrage universel reconnaît le droit de vote à chaque électeur, sans aucune discrimination : ainsi, le "peuple souverain" est amené à désigner ceux qui le représenteront pour un mandat déterminé. A cet effet, plusieurs systèmes électoraux existent. Certains pays adoptent un système majoritaire: l'avantage est accordé à un parti en particulier, son adversaire formant ce qui est appelé " l'opposition". D'autres nations optent pour un système proportionnel : la présence de plusieurs partis est privilégiée de manière à mieux traduire les sensibilités des électeurs. En plus de cette différence de systèmes, de nombreuses règles peuvent être élaborées pour amener un bon fonctionnement de la gouvernance. La cryptographie appliquée au vote électronique Le vote électronique-éventuellement par Internet-est un moyen de réduire le coût des élections, et de réduire l'abstention. Le problème : peut-on s'y fier? Et aussi Mathématiques récréatives En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Les fonctions de hachage Comment savoir si un document a été transmis intégralement’ Une réponse est de lui associer une signature, que l'on nomme aussi empreinte. Celle-ci peut s'obtenir par hachage. Les mathématiciens, tous platoniciens’ Comme Platon, les mathématiciens sont des créateurs de mondes. Un exemple dû au philosophe grec est le monde issu du mythe de la caverne. Doit-on autant considérer tous les mathématiciens comme platoniciens’ Détermination intrinsèque d'un plan tangent Une surface étant donnée par le relevé de ses lignes de niveaux, comment en déterminer les plans tangents’ Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle d'une taupe modèle En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes En 1881, Henri Poincaré affirme : "Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes", ce qui généralise les idées qu'exprime Félix Klein sur la géométrie dans le programme d'Erlangen. La dualité entre l'amour et les maths Le mathématicien Edward Frenkel a réalisé, en collaboration avec Reine Graves, un film étonnant, Rites d'amour et de maths, en hommage à Yûkoku (Rites d'amour et de mort) de Yukio Mishima. Esthétiquement parfait, il intriguera ceux qui imaginent les mathématiques comme le contraire absolu de l'art et de la poésie. Il en inquiétera d'autres ... Un bouquet d'ellipses pour retourner la sphère François Apéry a remporté le concours Art et Maths 2010 de Tangente avec une construction de la surface de Morin, étape intermédiaire du retournement de la sphère, en bouquet d'ellipses. Comment l'a-t-il réalisée? Le Sunakia Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique... Et aussi Mathématiques récréativités En bref Nouvelle Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Écrire sur une sphère Une partie du métier de cartographe consiste à écrire sur un plan ce qui est inscrit sur une sphère. Comment exécuter l'opération inverse? Il existe plusieurs façons d'écrire sur une sphère ce que, d'ordinaire, nous écrivons sur un plan. L'art, la nature, et les variations en 1/f L'art, la nature, et les variations en i/f Une étude récente semble prouver que les séquences des films hollywoodiens sont réparties suivant une loi dite « en 1/f». Cette distribution spectrale a déjà été observée en physique, en biologie, dans de nombreuses œuvres d'art et semble liée au fonctionnement du cerveau. Son universalité reste toutefois à expliquer. Et aussi : En bref Mathématiques récréatives Nouvelle Avis de recherche Belles preuves Erreurs et paradoxes Solutions

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Sommaire Une algèbre pour comprendre les structures atomiques En mathématiques, l'algèbre de Grassmann est une algèbre inhabituelle car son produit, appelé produit de Grassmann ou produit extérieur et noté ^ , est non-commutatif. Même le feu est régi par les nombres Jean-Baptiste Joseph Fourier est connu pour avoir introduit une équation aux dérivées partielles fondamentale : l'équation de la chaleur. Il peut être considéré comme le fondateur de la physique mathématique. Et aussi : En bref et notes de lectures Mathématiques récréatives Histoire d'eau Cocktail EXO-TIC Belles preuves Erreurs et paradoxes Solutions